Sistemas Dinámicos

Question

¿Podría alguien explicar la teoría básica de los sistemas dinámicos? es decir, una explicación de la siguiente definición de un sistema dinámico:

Un sistema dinámico es una tupla $(T,M,\Phi)$ donde $T$ es un monoide, escrito de forma aditiva, $M$ es un conjunto, y $\Phi$ es una función. $$ \Phi : U \subset T \times M \to M$$ con

$ I(x) = \{t \in T : (t,x) \in U \}$
$ \Phi(0,x) = x $
$ \Phi(t_2, \Phi(t_1(x)) = \Phi(t_1 + t_2, x)$ para $t_1, t_2,t_1+t_2 \in I(x)$

¿Alguien podría detallar esto? No estoy entendiendo completamente la definición.

Answer 1

Como señalé en los comentarios, estoy algo sorprendido por esta definición, pero voy a intentarlo. Tienes un conjunto, y los puntos en él se están moviendo con el paso del tiempo, y $\Phi$ está siguiendo el movimiento. Piensa en $T$ como el tiempo. $\Phi(0,x)=x$ dice que en el tiempo cero los puntos están en sus lugares de inicio. La tercera condición dice que si miras dónde están los puntos después de $t_1$ segundos (o días, o siglos, lo que sea), y luego miras dónde están $t_2$ segundos después, descubres dónde están después de $t_1+t_2$ segundos.

Solo que todo se está haciendo en una mayor generalidad. He estado pensando en $T$ como tiempo, que naturalmente es un intervalo en el caso continuo, o los enteros o los naturales en el caso discreto, pero quien escribió esa definición quiere permitir que $T$ sea un monoide arbitrario. Y he estado pensando en $M$ como un conjunto de puntos en la recta, o en el plano, o en el espacio tridimensional, pero el autor pretende que sea cualquier conjunto abstracto. Así que no tanto he explicado la definición, sino que te he dado un entorno muy especializado (pero, creo, muy importante) en el que puedes interpretarla.