Me gustaría entender por qué el toro con un agujero no es homeomórficos al toro con dos agujeros.
Tengo una comprensión básica de los conceptos (sé lo que es un homeomorphism es, pero no mucho más).
Mi idea es que un toro con un agujero puede ser desconectado por dos bucles, mientras que el toro con dos agujeros no puede ser desconectado por dos bucles.
Es este argumento correcto? Puede que me formalizado (incluso la parte de la conexión).
O tal vez no hay mejor argumento
Nota: El siguiente argumento debe ser tomada libremente, y no como una prueba. Se asume la clasificación de las superficies (que es tonto).
Con el fin de obtener alguna contradicción, vamos a $f:S_1\to S_2$ ser un homeomorphism. Aquí, $S_1$ es el uno de los orificios de toro y $S_2$ es de los dos orificios de toro.
Ahora, definir un no-separación de la curva de $\gamma$ sobre una superficie $S$ a ser una curva tal que $S\setminus\gamma$ todavía está conectado.
Deje $\gamma_1$ e $\gamma_2$ ser los dos más populares de curvas en $S_1$ que cortar el toro en un disco. Desde $f$ es un homeomorphism, la imagen de estas curvas bajo $f$ (es decir, $f(\gamma_1)$ e $f(\gamma_2)$) también debe cortar $S_2$ en un disco. Ahora, yo reclamo que $f(\gamma_1)$ e $f(\gamma_2)$ debe ser: a) no separación en la $S_2$. Este es un buen ejercicio para el guiso por ti mismo!
Por otra parte, afirmo que ningún par de no-separación de las curvas se puede cortar a $S_2$ en un disco. Para probar esto, usted elija su favorito par de no-separación de las curvas de $S_2$, y cortar a lo largo de ellos. Muestran que esto no es un disco. Entonces, para cualquier otro par de no-separación de las curvas de $\alpha_i$, hay un homeomorphism tomar la $\alpha_i$ curvas a su favorito curvas. Por lo tanto, de corte a lo largo de la $\alpha_i$ curvas no puede producir un disco.
Sin embargo, desde la anterior sabemos que $f(\gamma_i)$ debe cortar a $S_2$ en un disco, por lo tanto la obtención de la contradicción.
Uno de estos ha $H^1(\Sigma_1,\Bbb Z)\cong \Bbb Z^2$ y el otro $H^1(\Sigma_2,\Bbb Z)\cong \Bbb Z^4$.
En general el $g$-toro agujereado $\Sigma_g$ ha $H^1(\Sigma_g,\Bbb Z)\cong \Bbb Z^{2g}$.
Uno puede ver esto considerando un representante de bucle para cada una de las $2g$-homotopy clases en la $g$-orificios de toro, y corte a lo largo de estos, y por homeomorphism de tomar cualquier par de tales superficies cortadas a la una de la otra.
De manera informal se puede arreglar simplemente una base de punto a punto con bucles para iniciar y finalizar en. En el $1$-toro agujereado $\Sigma_1$ hay dos topológicamente distintos tipos de bucles. Los que van 'a través de' el agujero, y aquellos que van alrededor del toro. De manera similar en el $2$-orificios de toro, hay $4$ diferentes tipos de generación de bucles, o va 'alrededor de' cada agujero, o a través de él.
Estos de generación de bucles de todos contribuir $1$ rango $H^1(\Sigma_g,\Bbb Z)$. Así que realmente no hay nada de miedo acerca de esto.
Me gusta su idea básica, pero me gustaría hacerlo más preciso de la siguiente manera: en un dos orificios toro, usted puede cortar a lo largo de dos distintos círculos y dejar el espacio sigue conectado; en uno de los orificios de toro, usted no puede hacer esto.
La primera parte es bastante fácil y yo creo que ya ha encontrado a dichos círculos.
Así que ¿por qué no podemos hacer esto en una embocada toro? Aquí voy a onda mis manos un poco.
Hay básicamente dos tipos de círculos en un toro. El trivial tipo es sólo un pequeño círculo que corta un disco. A ver el otro tipo, buscar al toro como una unidad cuadrada con los bordes izquierdo y derecho pegados, y los bordes superior e inferior pegadas (buscar "plana " torus" para más información). Ahora dibuje una línea que comienza en la esquina inferior izquierda y yendo arriba y a la derecha con una pendiente de (digamos) $1/2$. Esto va a terminar pasando dos veces alrededor de su eje horizontal y una vez alrededor de un eje vertical antes de que llegue de nuevo a la parte inferior izquierda, que nos da un círculo. Usted puede hacer esto para cualquier pendiente $p/q$, incluyendo el especial de la pendiente $\infty$ que va hacia arriba. El "favorito" de opciones de círculo corresponden a $\infty$ (vertical) y $0$ (horizontal); trata de dibujar $3/5$ más interesante.
El punto clave aquí es que, hasta un homeomorphism del toro, los círculos que acabo de describir son todos los círculos. Esto no es fácil demostrar (topología algebraica fue inventado para responder a preguntas como esta) pero debe parecer plausible si el experimento.
Suponiendo que es cierto, ¿cómo podemos encontrar a dos disjuntos círculos en el toro que no se desconecte? Claramente ninguno de los círculos puede ser trivial, por lo que ambos tienen que $p/q$ formulario. De hecho, ellos deben tener la misma pendiente: el primero corta el toro en un cilindro, y el segundo, que los recortes del cilindro en dos cilindros.
Esto demuestra que los dos círculos se debe desconectar siempre el toro, así que estás hecho.
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