¿Esta fórmula para una onda cuadrada se describe en alguna parte?

Question

Esto viene con un poco de historia. Yo estaba estudiando en una representación gráfica de la aplicación y varios pasos involucrados eran de pura intuición, por lo que espero es una lectura muy interesante. Saltar a continuación a la negrita encabezado para ver la fórmula:

Yo estaba jugando con la ecuación de la mitad superior del círculo de radio de $a$:

$$ \sqrt{a^2-x^2} $$

Quería mantener su valor máximo en 1, así:

$$ \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a} $$

Yo quería hacer más rectangulares, por lo que me planteaba la potencia de x:

$$ \frac{\sqrt{a^2-x^8}}{a} $$

Pero me di cuenta de que esto significaba el dominio ya no era $[-a, a]$

Así, que multiplica la $x$ plazo por $\frac{1}{a^6}$:

$$ \frac{\sqrt{a^2-\frac{1}{a^6}x^8}}{a} $$

Que trajo el dominio de volver a ser $[-a,a]$. La forma generalizada, lo que me permite hacer como "sharp-acorralado" como sea posible, fue:

$$ \frac{\sqrt{a^2-\frac{1}{a^{(2(d-1))}}x^{2d}}}{a} $$

Donde $d \in \mathbb{Z}^+$. Esto hizo que un único rectángulo-aproximación de pulso centrado en $0$ al $d$ era lo suficientemente grande.

Yo quería esta forma a repetir, así que sustituye $x$ con $\sin{(x)}$:

$$ \sqrt{1-\frac{1}{a^{\left(d-2\right)}}\sin \left(x\right)^d} $$

Esto produjo lo que se veía como una onda cuadrada con $\approx 100\%$ ciclo de trabajo. Pensé que podría introducir una forma más sustancial "fuera de tiempo" por la adición de un desplazamiento del pecado plazo, la eliminación de $\frac{1}{a^{\left(d-2\right)}}$ desde que ya no me interesa el "radio" de la "mitad superior del círculo":

$$ \sqrt{1-\left(\sin \left(x\right)-\sin \left(\left(x-\frac{\pi }{2}\right)\right)\right)^d} $$

El problema era que esto era indefinido cuando debería ser $= 0$. Mirando el comportamiento de las funciones de $\sqrt{x}$ e $e^{x}$, me di cuenta de que sería aceptable sustituto $e^{x}$ para $\sqrt{x}$ puesto que el problema era que $\sqrt{x}$ es indefinida cuando $x < 0$, e incluso pensaba que el comportamiento asintótico es bastante divergentes para $x > 1$, esto no importa ya que la entrada de términos que están delimitadas, se $\sin$ funciones.

Esto dio como resultado la siguiente, que era bastante buena:

$$ e^{\left(-\left(\left(\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)\right)-\sin \left(\frac{\pi }{2}\left(x-1\right)\right)\right)^d\right)} $$

Después de un poco de jugar, llegué a la siguiente:

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Si usted ha omitido la anterior, esta es la verdadera carne de la pregunta:

$c$ controles de la longitud de onda y $p \in [0, 1]$ es el ciclo de trabajo:

$$ e^{-\left(\left(\cos \left(\frac{\pi }{2c}x\right)\right)-\left(\frac{\sqrt{1-\left(2p-1\right)}}{\sqrt{1+\left(2p-1\right)}}\right)\cos \left(\frac{\pi }{2c}\left(x-c\right)\right)\right)^d} $$

Para simplificar, con la longitud de onda $1$ y el ciclo de trabajo $50\%$, tenemos:

$$ e^{-\left(\left(\cos \left(\frac{\pi }{2}x\right)\right)-\cos \left(\frac{\pi }{2}\left(x-1\right)\right)\right)^d} $$

Donde $d = 2n$ para algunos $n \in \mathbb{Z}^+$.

Mi pregunta:

Es esta fórmula para una onda cuadrada por escrito acerca de cualquier lugar, o puede ser derivada de otra forma? ¿Cómo se relaciona a la infinita expansión de la serie que podemos ver tanto en los libros de texto acerca de la serie de fourier?

Gracias por su paciencia, y por favor, comprenda que yo no soy un experto estudiante de matemáticas, por cualquier medio. No estoy insinuando que yo he hecho algún descubrimiento independiente, soy muy ignorante de lo que podría haber. Me pregunto si alguien puede señalar cómo este monstruo que me he encontrado se refiere a un territorio más familiar para un novato estudiante?

Answer 1

Así, gracias a las dos personas que respondieron, no parece ser algún tipo de comprensión básica de por qué esto funciona:

1. Funciones sigmoides compuesto con $\sin$

Si tomamos

$$s\left(x\right)=\frac{1}{1+e^{-d\left(\sin \left(\pi x\right)\right)}}$$

, se obtiene una onda cuadrada con ciclo de trabajo $50\%$. Invirtiendo la polaridad de una copia de la ola y la suma de ellos (y tomando el valor absoluto después de restar $1$), el cambio de fase de la onda invertida se convierte en el ciclo de trabajo de los parámetros:

$$|\left(s\left(x\right)+s\left(-x+2p\right)\right)-1|$$

Del mismo modo, podemos usar otra función sigmoidea, $\tanh{(x+1)}$:

$$ s\left(x\right)=\tanh \left(\left(\sin \left(\pi x\right)+1\right)^d\right) $$

2. La Serie de Taylor de la función

Parece ser que hay una intuición de que si nos encontramos con la serie de taylor de el monstruo, debe aproximarse a la conocida serie de taylor para la onda cuadrada. Esto debería ser más fácil si simplificamos la función mediante la eliminación de $p$, $c$, y dejar que la frecuencia sea un múltiplo de $\pi$:

$$e^{-\left(\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)^d}$$

... y sin embargo, todavía es demasiado difícil para mí, como me he sentado aquí un poco de intentar derivar la cada vez más complejos derivados, y parece que no está muy claro cómo esto va a converger a una serie equivalente a la tradicional plaza de la serie de la onda. Y, sin embargo, parece lógico que por supuesto que si!

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De todos modos, gracias por la ayuda a todos. Parece darse cuenta de que la función original es básicamente una sigmoide con un periódico de entrada aclara cómo se obtiene un cuadrado de onda!