$f(x)=x^4+ax^2+b\in \mathbb{Z}[x]$ es irreducible si los$\alpha ^2, \alpha \pm\beta$ no son elementos de$\mathbb{Q}.$

Question

Deje que$\pm \alpha, \pm \beta$ denote las raíces del polinomio$f(x)=x^4+ax^2+b\in \mathbb{Z}[x]$. Demuestre que$f(x)$ es irreducible sobre$\mathbb{Q}$ si y solo si$\alpha ^2, \alpha \pm\beta$ no son elementos de$\mathbb{Q}.$

Supongamos que$f(x)$ es irreducible. $f(x)=(x-\alpha^2)(x-\beta^2)$. Entonces,$\alpha^2$ no está en$\mathbb{Q}$. $f(x)=(x-\alpha)(x+\alpha)(x-\beta)(x+\beta)=(x^2+(\alpha-\beta)x-\alpha\beta)(x^2-(\alpha-\beta)x-\alpha\beta)$. $\alpha\beta$ está en$\mathbb{Q}$ si$b$ es un cuadrado.

Cómo mostrar$\alpha\pm\beta$ no está en$\mathbb{Q}?$

Answer 1

Ya que tu polinomio tiene coeficientes racionales, tienes$$2(\alpha^2+\beta^2)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=(x_1+x_2+x_3+x_4)^2-2(x_1x_2+...+x_3x_4)\in \mathbb Q$ $

Ahora, si$\alpha \pm \beta \in \mathbb Q$ entonces

$$(\alpha \pm \beta)^2=\alpha^2+\beta^2\pm 2\alpha \beta \in \mathbb Q$ $ y por lo tanto$$\alpha \beta \in \mathbb Q$ $

Esto muestra que al menos uno de los factores en su factorización está en$\mathbb Q[X]$.