Invariantes locales del módulo discreto de Galois asociado a un$p$ - nueva forma ordinaria

Question

Deje $f=\sum_{n=1}^\infty a_nq^n$ ser $p$-ordinario newform de peso $k\geq 2$, nivel de $N$, y el carácter $\chi$, y deje $\rho_f:G_\mathbf{Q}\rightarrow\mathrm{GL}_2(K_f)$ ser el asociado $p$-ádico Galois representación, donde $K_f$ es el finito extensión de $\mathbf{Q}_p$ obtenido por limítrofes de los coeficientes de Fourier de $f$. Deje $\mathscr{O}_f$ ser el anillo de enteros de $K_f$, e $A_f$ un cofree $\mathscr{O}_f$-módulo de corank $2$, es decir, $(K_f/\mathscr{O}_f)^2$, en el que $G_\mathbf{Q}$ hechos por $\rho_f$ (por lo que hemos optado por un modelo integral de $\rho_f$).

Mi pregunta consiste en el local invariantes de $A_f$. Específicamente, deje $F$ ser un campo de número, y deje $v$ ser un número finito de primos de $F$ no dividiendo $p$ o el director de orquesta de $\rho_f\vert_{G_F}$. Revisión de descomposición grupo $G_v$ de % de $v$ en $G_F\leq G_\mathbf{Q}$. Es cierto que $H^0(G_v,A_f)$ es finito?

Estoy muy interesado en saber si es o no $\ker(H^1(G_v,A_f)\rightarrow H^1(I_v,A_f))$ se desvanece ($I_v\leq G_v$ de la inercia de grupo), pero con mis hipótesis sobre la $v$, la fuga de este kernel es equivalente a la finitud de $H^0(G_v,A_f)$ (debido a que el núcleo en cuestión es múltiplo de la misma $\mathscr{O}$-corank como $H^0(G_v,A_f)$). Esta fuga parece estar implícita en un par de papeles he estado mirando, y no estoy seguro de por qué es verdad.

Answer 1

Si los invariantes fuese infinito, que sería divisible, y por lo que correspondería a un invariante de la línea en $V_f$ (la representación en $K_f^2$ conectado a $\rho$). Deje $\ell$ ser racional primer mentir undre $v$. El char. poli. de $\mathrm{Frob}_{\ell}$ actuando en este rep n es exactamente el $\ell$th Hecke polinomio, por lo que por Ramanujan--Petterson, los autovalores de $\mathrm{Frob}_{\ell}$ son Weil números de peso $(k-1)/2$. En particular, no son las raíces de la unidad (siempre que el peso de la $k > 1$). Los autovalores de $\mathrm{Frob}_v$ son potencias de los autovalores de $\mathrm{Frob}_{\ell}$ (desde $\mathrm{Frob}_v$ es una potencia de $\mathrm{Frob}_{\ell}$), y para que no ser $1$. En consecuencia, $H^0(G_v,V_f) = 0$. QED

---

(Si $k = 1$ este argumento se rompe, y, por supuesto, la afirmación es falsa.)