Demostrar que $\left(\sum_{j=1}^n a_jb_j\right)^2 \le \left(\sum_{j=1}^n ja_j^2\right)\left(\sum_{j=1}^n b_j^2/j\right)$

Question

$$\left(\sum_{j=1}^n a_jb_j\right)^2 \le \left(\sum_{j=1}^n ja_j^2\right)\left(\sum_{j=1}^n b_j^2/j\right)$$

Para todos los números reales $a_1,...,a_n$ y $b_1,...,b_n$ .

Intenté aplicar el Desigualdad de Cauchy-Schwarz intentó un orden de suma diferente no llegó muy lejos. Es de " Álgebra lineal bien hecha "por Sheldon Axler.

También tengo otras preguntas de esta sección de ejercicios, me pregunto si debo hacerlas por separado o ponerlas en el mismo hilo?

Gracias.

Answer 1

Es sólo Cauchy-Schwarz en : $x_j^2:=ja_j^2$ y $y_j^2:=b_j^2/j$