En primer lugar, no creo que la primera afirmación es verdadera sin supuestos adicionales. No hay manera natural de obtener un mapa de $X\times Y\rightarrow Z$ a partir de los datos proporcionados en general. Si $Z$ es $H$-espacio (en particular si es un bucle en el espacio), el consution es posible. Del mismo modo, si uno de los mapas $X\rightarrow Z$, $Y\rightarrow Z$ tiene una débil director homotopy acción en $Z$, la construcción debe ir a través de. De todos modos, me centraré en la producción de la fibration secuencia de terminación
$$\dots\rightarrow\Omega X\times\Omega Y\xrightarrow{\Delta}\Omega Z\rightarrow A\xrightarrow{\varphi} X\times Y,$$
que no existen para cualquier homotopy retirada de la plaza como en tu pregunta.
Deje $(E)$ ser el homotopy pullback diagrama
$\require{AMScd}$
\begin{CD}
A @>g>> Y\\
@VfV V @VkVV\\
X @>h>> Z.
\end{CD}
Ahora, ya que cada objeto en $Top$ es fibrant, la plaza
$\require{AMScd}$
\begin{CD}
X\times Y @>pr_2>> Y\\
@Vpr_1V V @VVV\\
X @>>> \ast.
\end{CD}
es un topológico y homotopy la retirada. Llame a esta plaza,$(B)$. A continuación, las identidades en $X$ e $Y$, y el único mapa $Z\rightarrow \ast$ inducir una de morfismos de pre-pullback de datos
$$(X\xrightarrow{h} Z\xleftarrow{k} Y)\Rightarrow (X\rightarrow\ast\leftarrow Y)$$
lo que le da un morfismos de homotopy pullback plazas $(E)\Rightarrow (B)$, y, en particular, un inducida por el mapa
$$\varphi:A\rightarrow X\times Y$$
por el débil universal de los bienes de la homotopy pullback plazas. Este mapa $\varphi $ no es el único, pero ya que debe satisfacer
$$pr_1\circ\varphi\simeq f,\qquad pr_2\circ\varphi\simeq g,$$
y cualquier (homotopy clase de) mapa de un producto está determinado por sus proyecciones, vemos que
$$\varphi\simeq (f,g).$$
Ahora los datos de los morfismos $(E)\Rightarrow (B)$ se muestra como un homotopy conmutativa cubo (que yo soy de ninguna manera intenta dibujar en Mathjax). Si usted toma la homotopy fibes de la vertical de mapas, a continuación, obtener otro cubo, lo que nos va muy bien llamar a $(F)$,
$\require{AMScd}$
\begin{CD}
F_{\varphi} @>>> \ast\\
@VV V @VVV\\
\ast @>>> Z.
\end{CD}
Aquí la parte inferior derecha del espacio es la homotopy de fibra de $Z\rightarrow Z$, lo que equivale a $Z$. La parte superior derecha del espacio es la homotopy de fibra de $id_Y:Y\rightarrow Y$, que es contracible. Del mismo modo, para la parte inferior izquierda del espacio. La parte superior del espacio de $F_\varphi$ es el homotopy de fibra de $\varphi=(f,g):A\rightarrow X\times Y$. Todos los mapas en la plaza son inducidos como mapas entre homotopy fibras en la forma estándar de homotopy commuative diagramas de fibrations.
Ahora es un estándar teorema de que la plaza de homotopy fibras de un morfismos de homotopy retirada de diagramas es de nuevo un homotopy pullback diagrama. En particular, esto nos dice que el cuadrado de $(F)$ es un homotopy pullback diagrama, y es un ejercicio sencillo comprobar que la homotopy retroceso de $(\ast\rightarrow Z\leftarrow \ast)$ (el espacio de $Z$ es asumido en punta) tiene la homotopy tipo de bucle espacio de $\Omega Z$. Por lo tanto
$$F_\varphi\simeq \Omega Z.$$
Por tanto, la elección de mapas adecuados podemos conseguir la homotopy fibration afirmado que existen en el comienzo de esta respuesta.
Ahora, como una ronda de bonificación, he etiquetado el fibration conexión mapa de $\Delta:\Omega X\times\Omega Y\rightarrow \Omega Z$. Si usted hace el duro trabajo de escribir todo abajo de manera explícita, y elegir sus mapas y homotopies sabiamente, entonces es posible demostrar que
$$\Delta\simeq \Omega h\circ pr_1-\Omega k\circ pr_2,$$
donde los mapas se restan utilizando el bucle más en $\Omega Z$. Que el mapa debe tener esta forma es intuitivamente clara, ya que debemos tener $\Delta\circ\Omega\varphi\simeq\ast$, y esto sin duda tiene con $\varphi\simeq (f,g)$.
El punto es que esta es la razón por la que su pregunta $1)$ no precisa. Sin el ciclo, además de que no hay manera de combinar los mapas de $h,k$ para obtener un mapa de $X\times Y$. Si $Z$ es $H$-espacio, entonces usted podría ordenar mis reclamos en la ampliación de la secuencia como un ejercicio.
Como para cuestionar $2)$, así que los comentarios siguen siendo válidos para el mapa en la mano derecha. Y no parece ser un error tipográfico (o la falta de bracketing) en el medio. Pero, ¿por qué este no existe, dado que es sólo la continuación de una existente homotopy fibration secuencia.
