Mostrando que un conjunto de funciones trigonométricas es linealmente independiente sobre $ \mathbb {R}$

Question

Me gustaría determinar bajo qué condiciones en $k$ el conjunto $$ \begin {align} A = &\{1, \cos (t), \sin (t), \\ & \quad \cos (t(1+k)), \sin (t(1+k)), \cos (t(1−k)), \sin (t(1−k)), \\ & \quad \cos (t(1+2k)), \sin (t(1+2k)), \cos (t(1−2k)), \sin (t(1−2k))\}, \end {align}$$ es linealmente independiente, donde $k$ es un número real arbitrario.

Como motivación, sé que el conjunto definido por

$$ \{1, \cos wt, \sin wt\}, \quad w = 1, \dots , n $$

es linealmente independiente de $ \mathbb {R}$ que generalmente se prueba computando el Wronskiano. Pensé que podría extender este resultado al conjunto en cuestión, pero no he encontrado una forma adecuada de hacerlo. Mi intuición me dice que $A$ será de forma lineal dependiente cuando los argumentos de las funciones trigonométricas coincidan, lo que dependerá del valor de $k$ .

Sin embargo, no puedo probar que esto sea cierto. Computar el Wronskiano para este conjunto requirió una cantidad desmesurada de tiempo Dejé de hacer el cálculo después de un día. ¿Hay tal vez una manera de reducir el conjunto en cuestión para que el Wronskiano sea manejable?

Estoy interesado en cualquier sugerencia/método alternativo para probar la independencia lineal que pueda ayudar a mi situación. Tenga en cuenta que me gustaría tener un resultado que se mantenga para cualquier $m = 0, \dots , n,$ donde $n \in \mathbb {Z}$ si es posible.

Gracias por su tiempo.

EDITAR : El conjunto originalmente definido en la primera instancia de este post fue citado incorrectamente. Mis sinceras disculpas.

Answer 1

La respuesta es $k = 0, \pm 1, \pm \frac {1}{2}$ . Esto se desprende del siguiente resultado.

Reclamar: Las funciones $\{ 1, \sin rt, \cos rt \}$ para $r$ un real positivo son linealmente independientes sobre $ \mathbb {R}$ .

Prueba 1. Supongamos que $ \sum s_r \sin rt + \sum c_r \cos rt = 0$ es una dependencia lineal no trivial. Considera que el mayor positivo real $r_0$ de tal manera que $c_{r_0} \neq 0$ . Toma un gran número par de derivados hasta que el coeficiente de $ \cos r_0 t$ es sustancialmente mayor que los restantes coeficientes de los otros términos del coseno y luego sustituye $t = 0$ obtenemos un número que no puede ser igual a cero, lo cual es una contradicción. Así que no aparecen cosenos.

De manera similar, considere el mayor positivo real $r_1$ de tal manera que $s_{r_1} \neq 0$ . Toma un gran número de derivados de impar hasta que el coeficiente de $ \cos r_1 t$ es sustancialmente mayor que los restantes coeficientes de los otros términos del coseno (que provienen de términos del seno diferenciados) y luego sustituye $t = 0$ obtenemos un número que no puede ser igual a cero, lo cual es una contradicción. Así que no aparecen los pecados.

Así que $1$ es la única función que puede aparecer en una dependencia lineal no trivial, por lo que no existen tales dependencias lineales.

Prueba 2. Basta con probar que las funciones son todas linealmente independientes a lo largo de $ \mathbb {C}$ . Usando el hecho de que

$$ \cos rt = \frac {e^{irt} + e^{-irt}}{2}, \sin rt = \frac {e^{irt} - e^{-irt}}{2i}$$

basta con probar que las funciones $\{ e^{irt} \}$ para $r$ un real son linealmente independientes. Esto puede hacerse directamente computando el Wronskiano y de hecho muestra que de hecho las funciones $\{ e^{zt} \}$ para $z$ un número complejo son linealmente independientes.

Prueba 3. Empieza igual que la Prueba 2, pero no calculamos el Wronskiano. En su lugar, dejamos $ \sum c_z e^{zt} = 0$ ser una dependencia lineal no trivial con un número mínimo de términos y diferenciarse para obtener

$$ \sum z c_z e^{zt} = 0.$$

Si $z_0$ es cualquier número complejo tal que $z_0 \neq 0$ y $c_{z_0} \neq 0$ (tal número debe existir en una dependencia lineal no trivial), entonces

$$ \sum (z - z_0) c_z e^{zt} = 0$$

es una dependencia lineal con un menor número de términos; contradicción. Así que no hay dependencias lineales no triviales.

Answer 2

Para cualquier fijo $k \in \mathbb R$ siempre puedes escribir $ \sin (t+k)$ como una combinación lineal de $ \sin t$ y $ \cos t$ (piensa en fórmulas de adición de ángulos). Si entiendo su pregunta correctamente, no creo que haya ninguna esperanza de que este conjunto sea linealmente independiente.

Tenga en cuenta que todo lo que hay en $A$ es una solución a la ecuación lineal de tercer orden $x''' + x' = 0$ . No hay mucho espacio para que sean linealmente independientes.