De Stein del libro, se nos pide mostrar encontrar una fórmula para $$\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)\,dx,\quad a>0.$$While this is very doable via integration by parts, I'm asked to use contour integration, where we're suggested to integrate over a sector with angle $\omega$ such that $\cos(\omega)=a/\sqrt{a^2+b^2}.$
He intentado esto varias veces, y sigo teniendo problemas con algunas de las integrales. Me he puesto el contorno de modo que en el primer segmento, es en el eje real, así que tenemos la integral $$\int_0^R e^{-az}\cos(bz)\,dz.$$ Then I parameterize the arc as $z(\theta)=Re^{i\theta}$ for $0\leq\theta\leq \omega$, so the second integral becomes $$\int_0^\omega e^{-a(Re^{i\theta})}\cos(b(Re^{i\theta}))\left(iRe^{i\theta}\right)\,d\theta.$$The final segment I parameterized as $z(t)=Re^{i\omega}(1-t)$ and set up the final integral as $$\int_0^1e^{-a(Re^{i\omega}(1-t))}\cos\big(b(Re^{i\omega}(1-t))\big)(-Re^{i\omega})\,dt.$$I've tried finding some way to bound one of the last two integrals so that I can show one of them goes to $0$ as $R\to\infty$, pero no he tenido suerte. Podría alguien hacer una sugerencia, si mi enfoque y parametrizaciones son correctas? Gracias!
Actualización: Mis pensamientos son realmente de que la integral que se va a cero es el arco. Sigo trabajando en la siguiente forma; sabemos que es \begin{align} &\leq R\int_0^\omega\left|e^{-aR(\cos\theta+i\sin\theta)}\cdot\left(\frac{e^{ibRe^{i\theta}}+e^{-ibRe^{i\theta}}}{2}\right)\right|\,d\theta\\ &\leq\frac{R}{2}\int_0^\omega\left|e^{-aR\cos\theta}\cdot\left(e^{ibR(\cos\theta+i\sin\theta)}+e^{-bR(\cos\theta+i\sin\theta)}\right)\right|\,d\theta\\ &\leq\frac{R}{2}\int_0^\omega\left|e^{-aR\cos\theta-bR\sin\theta}\right|+\left|e^{-aR\cos\theta+bR\sin\theta}\right|\,d\theta. \end{align} En este punto, es fácil mostrar que el primer término tiende a cero, ya que $(-aR\cos\theta)<0$ $bR\sin\theta>0$ (desde $b$ $\sin\theta$ tienen el mismo signo). El segundo término, sin embargo es lo que me causa problemas. Acabo de terminar de trabajar de nuevo, y me sale que solo va a cero si $a^2>b^2$, lo que no es necesario en la fórmula general cuando se logra mediante la integración por partes. Estoy realmente en una pérdida...
Agregó Solución: Ver la solución que he publicado y por favor, dejar comentarios sobre sus pensamientos acerca de ella. Gracias!