Solucionar $ \left|\frac{x}{x+2}\right|\leq 2 $

Question

Estoy experimentando un poco de confusión en la contestación de un problema en Valor Absoluto de las desigualdades que acabo de comenzar el aprendizaje. Este es el problema: Resolver: $$ \left|\frac{x}{x+2}\right|\leq 2 $$ La respuesta es dada para ser $x\leq-4$ o $x \geq-1$

Este es mi intento de resolver el problema:

Por división, $\left|\frac{x}{x+2}\right|\leq 2$ es equivalente a $\left |1-\frac{2}{x+2}\right|\leq2$ que también es equivalente a $\left |\frac{2}{x+2}-1\right|\leq2$

Por eso, $-2\leq\frac{2}{x+2}-1\leq2$ que es equivalente a $-\frac{1}{2}\leq\frac{1}{x+2}\leq\frac{3}{2}$

Caso 1: $x+2>0$. La solución de $-\frac{1}{2}\leq\frac{1}{x+2}\leq\frac{3}{2}$, I se $x\geq-4$ e $x\geq-\frac{4}{3}$, que es esencialmente $x\geq-\frac{4}{3}$.

Caso 2: $x+2<0$. La solución de $-\frac{1}{2}\times(x+2)\geq{1}\geq\frac{3}{2}\times(x+2)$, I se $x\leq-4$ e $x\leq-\frac{4}{3}$, que es esencialmente $x\leq-4$.

Así, las soluciones son: $x\leq-4$ o $x\geq-\frac{4}{3}$.

Yo no podía conseguir $x \geq-1$ como una solución. ¿Hice algo mal? El libro que estoy usando es Schaum los Contornos de Cálculo. Otra pregunta que me gustaría pedir es que estoy utilizando 'y' y 'o' correctamente en el anterior intento de resolver el problema? He tenido este problema muchas veces.

Answer 1

Así que usted tiene $$ \lvert x \rvert \leq 2\lvert x+2\rvert. $$ Si $x \geq 0$,, a continuación,$x + 2 > 0$. Y entonces la ecuación se lee $x \leq 2x + 4$ lo que implica que $x \geq -4 $. Esta en todos los da soluciones a la medida de $x \geq 0$.

Si $x\in [-2, 0)$, entonces la ecuación se convierte en $-x \leq 2x + 4$. Por lo $-4\leq 3x$. Por lo $\frac{-4}{3} \leq x$. En todo lo que usted consigue $x\in [-4/3, 0)$.

Ahora, el último caso es donde $x <-2$. A continuación,$-x \leq -2x - 4$. Por lo $4 \leq -x$. Por lo $-4\geq x$. Esto le da al conjunto de soluciones de $(-\infty, -4]$.

Poniendo todo esto junto le da el intervalo cerrado: $$ (-\infty, -4] \copa [-4/3,\infty) $$

Parece que la solución es correcta.

Answer 2

el caso de $x+2>0$, no es necesario para solucionar $-1/2\le 1/(x+2)\leftarrow x+2>0$.

el caso de $x+2<0$, la desigualdad a resolver no es el original. Debería ser $-1/2 \le 1/(x+2) \le 3/2$ y en el caso de $x+2<0\rightarrow 1/(x+2)<3/2$, por lo que solo es $-1/2 \le 1/(x+2)$.

Creo que simplemente.

Answer 3

Dado que, $$\left|\frac{x}{x+2}\right|\le 2$$$$\iff |x|\le 2|x+2| $$ Aviso, $x=-2$ & $x=0$ son dos de los puntos críticos en la recta numérica. Ahora, consideremos los siguientes casos,

Caso 1: Si $\color{blue}{x\le -2}$ $$-x\le -2(x+2)\iff x\le -4\ \ \ ({\text{True}})$$ $$\implies \color{red}{x\in(-\infty, -4]}$$ Caso 2: Si $\color{blue}{-2<x<0}$ $$-x\le 2(x+2)\iff x\ge -\frac{4}{3}\ \ \ $$ pero, $x<0$ por lo tanto, $$-\frac{4}{3}<x<0\iff \color{red}{x\in\left[-\frac{4}{3}, 0\right)}$$

Caso 3: Si $\color{blue}{x\ge 0}$ $$x\le 2(x+2)\iff x\ge -4\ \ \ $$ pero, $x\ge 0$ por lo tanto, $$x\ge 0\iff \color{red}{x\in\left[0, \infty\right)}$$ Por lo tanto, la combinación de los casos anteriores, la solución completa es dada como $$\color{red}{x\in (-\infty, -4]\cup \left[-\frac{4}{3}, \infty\right) }$$

Answer 4

Para solucionar este tipo de problema de forma sistemática. Si usted desea solucionar $|f(x)|\le c$ o $|f(x)|\geq c$ (para algunas constantes $c\geq 0$), hay que estudiar el signo de $f(x)$. Se puede ser más "simple" problema como el tuyo, pero tiene la ventaja de que siempre te dan la solución para los más complejos.

Para su caso en particular, tenemos $f(x)=\frac{x}{x+2}$, la cual es: $$\begin{array}{c|ccccc} & &-2 & &0 & &\\ \hline x & - &- & - &0 &+\\ x+2 & - & 0 & + & + & +\\ \hline f(x) & + &\nexists &- & 0 &+ \end{array}$$ Lo que significa que $f(x)\geq 0$ al $x\in(-\infty,-2)\cup[0,+\infty)$ e $f(x)\le 0$ al $x\in(-2,0]$.

1) Para $x\in(-\infty,-2)\cup[0,+\infty)$, $f(x)\geq 0$, así que $$\left\vert\frac{x}{x+2}\right\vert=\frac{x}{x+2}$$ y las inecuaciones es $$\frac{x}{x+2}\le 2\iff\frac{-x-4}{x+2}\le 0$$ lo que da: $$\begin{array}{c|ccccc} & &-4 & &-2 & &\\ \hline -x-4 & + &0 & - &- &-\\ x+2 & - & - & - & 0 & +\\ \hline & - &0 &+ & \nexists &- \end{array}$$ y las soluciones son $$\left[(-\infty,-4]\cup(-2,+\infty)\right]\cap\left[(-\infty,-2)\cup[0,+\infty)\right]=(-\infty,-4]\cup[0,+\infty)$$

2) Para $x\in]-2,0]$, $f(x)\le 0$, así que $$\left\vert\frac{x}{x+2}\right\vert=-\frac{x}{x+2}$$ y las inecuaciones es $$\frac{x}{x+2}\le 2\iff\frac{-3x-4}{x+2}\le 0$$ lo que da: $$\begin{array}{c|ccccc} & &-2 & &-4/3 & &\\ \hline -3x-4 & + &+ & + &0 &-\\ x+2 & - & 0 & + & + & +\\ \hline & - &\nexists &+ & 0 &- \end{array}$$ y las soluciones son $$\left[(-\infty,-2)\cup[-4/3,+\infty)\right]\cap(-2,0]=[-4/3,0]$$

Y la solución final está dado por $$\left\vert\frac{x}{x+2}\right\vert\le 2\iff x\in(-\infty,-4]\cup[0,+\infty)\cup[-4/3,0]=(-\infty,-4]\cup[-4/3,+\infty)$$

Sé que parece mucho, en este caso en particular, pero es bueno tener un método general para este tipo de problema.