Número de Grassmann de los generadores de campo de Dirac?

Question

Cuántos Grassmann generadores son suficientes para la descripción de un Dirac spinor en 4 dimensiones? es decir, El campo de Dirac es un mapa a $\Lambda_N$, el espacio de supernumbers con $N$ real Grassmann generadores. ¿Qué es $N$?

Esta es una pregunta de seguimiento a mi pregunta anterior Grassmann Paradoja Rareza. Estoy siguiendo Prakash del libro Mathemaical Perspectivas de la Física Teórica, donde se dice que un supernumber $z\in\Lambda_N$ puede ser el pensamiento de la extensión de los números complejos mediante la adición de $N$ Grassmann generadores $\zeta^1,\, \zeta^2,\,\ldots \zeta^N$. La mayoría de los generales supernumber está escrito $$z = z_0+z_i\zeta^i+\textstyle\frac{1}{2!}z_{ij}\zeta^i\zeta^j+\ldots,$$ donde $z_i$, $z_{ij}$, $\ldots$, son valores complejos y antisimétrica. Lo curioso de esto es anticommuting y se utiliza para describir Fermión campos. El libro dice que para finitos $N$, tarda $2^{N-1}$ de los números complejos para especificar un anticommuting número.

¿Cómo puedo averiguar cuánta Grassmann generadores $\zeta^i$ necesito especificar un Dirac spinor en 4 dimensiones.

Answer 1

Para el campo de Dirac necesita un incontable número infinito de Grassmann generadores. Lo que queremos es la siguiente propiedad $$ \psi_\mu(x)\psi_\nu(x')=-\psi_\nu(x')\psi_\mu(x)$$ para cualquier $x,x',\mu$ e $\nu$ donde $\psi_\mu(x)\psi_\nu(x')=0$ sólo para $x=x'$ e $\mu=\nu$. Claramente se puede no lograrlo mediante un número finito de generadores de Grassmann.

Generar un álgebra de Grassmann con un generador para cada punto de $x$ y el componente $\mu$ $$ \Omega(\mathcal M) = \langle\zeta_\mu(x)|x\in\mathcal M,\mu=1,\dots n\rangle,$$ donde la notación $\langle a,b,c,\dots\rangle$ representa un álgebra de Grassmann generado por los elementos de $a,b,c,\dots$ e $\mathcal M$ es el colector su spinor vidas. Un elemento general de este espacio es, pues,$z\in\Omega(\mathcal M)$: $$ z= z_0 + \int_{\mathcal M}\text dx\; z_\mu(x)\zeta_\mu(x) + \frac 1{2!}\int_{\mathcal M}\text dx\text dy\; z_{\mu,\nu}(x,y)\zeta_\mu(x)\zeta_\nu(y) +\dots.$$

El spinor $\psi_\mu(x)$ entonces vive en el subespacio $\Omega_1(\mathcal M)\subset\Omega(\mathcal M)$ con sólo un generador. En otras palabras $$ \psi_\mu(x) = z_\mu(x)\zeta_\mu(x) $$ para algunos complejo de número de $z_\mu(x)\in\mathbb C$. Esto asegurará que la propiedad que queremos. Para conjugar campo $\bar{\psi}_{\mu}(x)$, es necesario ampliar el álgebra con un nuevo conjunto de generadores $\bar \zeta_\mu(x)$, y del mismo modo extender el álgebra para cada nuevo conjunto de fermiones en la teoría.