Cómo y por qué puede matrices aleatorias respuesta a problemas físicos?

Question

Al azar la teoría de la matriz aparece regularmente en el contexto de los sistemas dinámicos.

Yo estaba, sin embargo, hasta el momento no es capaz de captar la idea básica de este formalismo. Podría alguien por favor proporcione un ejemplo muy instructivo o una introducción básica al tema?

Yo también agradecería sugerencias en la literatura relevante.

Answer 1

La idea básica es que las propiedades estadísticas de los complejos sistemas físicos caer en un pequeño número de universal clases. Un muy conocido ejemplo de este fenómeno es la ley universal implícita por el teorema del límite central donde la suma de un gran número de variables aleatorias pertenecer a una gran clase de distrubutions converge a la distribución normal. Por favor consulte Percy Deift del artículo para una histórica y motivación de examen de la asignatura. Por supuesto, uno de los más motivadora ejemplos (mencionado Percy Deift del artículo) en el original Wigner del explicación de los núcleos pesados espectros. Wigner "conjetura" el la universalidad y la miró por un modelo que puede explicar la repulsión entre los niveles de energía de los grandes núcleos (dos cerca de los niveles de energía es raro) que lo condujo a la Gaussiana conjunto ortogonal tener esta propiedad construida en. Ahora, los núcleos pesados elementos de la matriz Hamiltoniana no son al azar, pero ya por la universalidad , para la gran N, la distribución de la autovalores no depende de los elementos de la matriz de distribución, la matriz aleatoria autovalor de distribución se aproxima a la de la De hamilton.

Answer 2

David de la Barra de Moshé la respuesta es bien, pero yo quería entrar en más detalles. La razón principal de que las matrices aleatorias se muestran en los sistemas dinámicos es porque describen el nivel de las estadísticas de clásico caóticos movimientos. En clásicamente integración de los sistemas, no es un semiclásica de la fórmula para el nivel de espaciado, determinado por el de Bohr-Sommerfeld regla. Si usted sabe que el clásico de energía como una función de la acción de variables

$$ E(J_1, J_2, J_3...., J_n)$$

usted sabe que la energía cuántica separaciones mediante la configuración de las J variables a ser múltiplos enteros de la constante de Planck h.

$$ E(h n_1, h n_2, .... h n_k)$$

Esto significa que los niveles cerca de algún estado de referencia están espaciadas de acuerdo a la regla:

$$ \Delta E(\Delta n_1,\Delta n_2, ... , \Delta n_k) = {\partial E\over \partial J_i} \Delta n_i $$

Y

$$ {\partial E \over \partial J_i} = {2\pi \over T_i} $$

Donde $T_i$ es de la época clásica. Esta regla significa que los niveles se distribuyen más o menos uniformemente, multiperiodically, como una superposición de diferentes puntos equidistantes con igualmente espaciados a distancias entre el equidistantes de las secuencias. No es difícil imaginar--- imagínese un período es muy largo, por lo que las distancias son muy de cerca, y el otro período es corto, por lo que el espacio es grande, y que de obtener los niveles de energía son dos uniforme que se interpenetran secuencias de energías que se encuentran en la parte superior de uno al otro.

Este integrable imagen es completamente falso para complejo de núcleos, donde la energía de los niveles de exposición nivel de repulsión. Esto significa que los niveles no son superposiciones de equispaced secuencias que están en el límite clásico de un integrable sistema, más bien, debe haber interacciones entre los niveles que les llevan a rechazar, por lo que no quieren estar cerca.

En mecánica clásica, este fenómeno es la destrucción de invariantes tori cuando hay resonancias, y esto lleva a sistemas de gran tamaño para convertirse en un caos. El genérico de comportamiento caótico tiene características universales, y esto es lo que Wigner descubierto. Él razonó que si usted está buscando en una caótica Hamitlonian sistema, las estadísticas de los niveles cerca de un determinado nivel, van a estar todos mezclados en una manera que es diferente de la integrable caso. En la integrable caso (como la rotación de una molécula rígida, lo que da la rotación de niveles superpuestos en la parte superior del espectro de excitación) los espaciamientos a decir algo acerca de los períodos de los clásicos movimientos. Pero en el caótico caso, no existen períodos, y el nivel de detalles, no dicen nada sobre el sistema (al menos localmente). Así Wigner razonó que si diagonalize cualquier edad de la matriz con entradas aleatorias, usted va a obtener los autovalores se distribuyen a nivel local, como la física de los núcleos.

Este es un notable verdadera predicción. Si usted toma cualquier edad rotación de tipo matriz, elegidos al azar de una distribución de probabilidad (es decir que la distribución uniforme en el grupo, es compacto), que depende solamente si usted está hablando acerca de una gran unitaria, real ortogonal, o simpléctica de la matriz, los valores propios serán distribuidos en diferentes lugares de acuerdo a la densidad depende de la distribución de probabilidad que usted elija, pero el nivel local espaciado tendrá las estadísticas que son indistiguishable de que la caótica sistemas físicos.

Las predicciones de esta teoría han sido confirmadas por la observación de nivel de repulsión en los núcleos. De esta manera se confirma que la central nuclear de movimiento es el de la clásica caótico (si es que tiene un clásico analógico) y que al azar la teoría de la matriz describe dicho sistema caótico a nivel de estadísticas.