Forma más rápida de hacer esto de la desigualdad

Question

Demostrar que para $x \in (0,1)$

$$ \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \leq \frac{\ln(1+x)}{\arcsin(x)} \leq 1$$

He descubierto esta desigualdad mediante el análisis de los derivados. Esto llevó a un lugar cantidad de tiempo y me preguntaba si hay un pequeño truco para probar esto. He observado que el lado izquierdo es el cociente del logaritmo y arcsen derivados, pero yo no era capaz de averiguar cómo hacer más rápido el trabajo de este problema con el uso de ese hecho.

Answer 1

MÉTODO de $1$: Utilizando el Estándar de las Desigualdades Que Se Pueden obtener Sin Cálculo

Por el lado derecho de la desigualdad de interés, recordamos las desigualdades

$$\log (1+x)\le x\,\,\dots ,x>-1 \tag 1$$

y

$$\sin x\le x\,\,\dots,x>0 \tag 2$$

Tenga en cuenta que $(1)$ puede ser establecida usando sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli y $(2)$ puede ser establecido mediante la interpretación geométrica de la función seno.

Ahora, de $(2)$ tenemos para $x\in (0,1)$

$$x\le \arcsin x \tag 3$$

Poner a $(1)$ e $(3)$ produce

$$\frac{\log (1+x)}{\arcsin x}\le \frac{x}{x}=1$$

cual es el lado derecho de la desigualdad de interés.

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Por el lado izquierdo de la desigualdad de interés, recordamos las desigualdades

$$\log (1+x)\ge \frac{x}{x+1}\,\,\dots,-1<x \tag 4$$

y

$$\sin x\ge x\cos x \,\,\dots,0 \le x \le \pi/2 \tag 5$$

Tenga en cuenta que $(4)$ puede ser establecida usando sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli y $(5)$ puede ser establecida usando el geométrica interpretaciones del seno y del coseno funciones.

Ahora, la aplicación de la sustitución de $x=\arcsin t$ en $(5)$ tenemos para $0\le t<1$

$$\sin \arcsin (t) \ge \arcsin(t) \cos \left(\arcsin (t) \right) \tag 6$$

lo que implica

$$t \ge \arcsin (t) \sqrt{1-t^2} \tag 7$$

Por lo tanto, para $0\le x\le 1$, hemos de $(7)$

$$\arcsin (x)\le \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \tag 8$$

El uso de $(4)$ e $(8)$ rendimientos

$$\frac{\log(1+x)}{\arcsin (x)}\ge \left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}$$

que es la lef-lado de la desigualdad de interés.

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Poner los resultados revela

$$\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\le \frac{\log(1+x)}{\arcsin(x)}\le 1$$

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MÉTODO de $2$: el Uso Integral de las Representaciones Del Registro Y Funciones Arcoseno

Tenemos la integral de las representaciones de los logaritmos y funciones arcoseno

$$\log x=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt \tag 9$$

$$\arcsin x=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,dt \tag{10}$$

ambos de los cuales son definidos por $x>0$.

Dado que tanto $1/x$ e $1\sqrt{1-x^2}$ son monótonamente decrasing, es trivial para establecer las desigualdades

$$\frac{x-1}{x}\le\log x\le x-1 \implies \frac{x}{x+1}\le\log (1+x) \le x \tag {11}$$

y

$$x \le \arcsin(x)\le \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \tag{12}$$

De $(11)$ e $(12)$ obtenemos

$$\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}=\frac{x}{(x+1)\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\le \frac{\log (1+x)}{\arcsin x}\le \frac{x}{x}=1$$

como se esperaba!

Answer 2

De hecho, usted puede utilizar los productos derivados de demostrar esta desigualdad. Deje $x=\sin t$ para $0< t\le\frac{\pi}{2}$. A continuación, la primera parte es equivalente a $$ \frac{\sqrt{1-\sin t}}{\sqrt{1+\sin t}}\le \frac{\ln(1+\sin t)}{t}. \tag{1} $$ Nota: $$ \frac{\sqrt{1-\sin t}}{\sqrt{1+\sin t}}=\tan(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}). $$ Definir $$ f(t)=\tan(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2})- \frac{\ln(1+\sin t)}{t}. $$ Entonces es fácil de comprobar $$ f'(t)=\frac{-t^2-t \cos t+(1+\sin t) \log (1+\sin t)}{t^2 (1+\sin t)}. $$ Definir $$ g(t)=-t^2-t \cos t+(1+\sin t) \log (1+\sin t)$$ y, a continuación, $$ g'(t)=t (-2+\sin t)+\cos t \log (1+\sin t). $$ Tomando nota de que para $0< t\le\frac{\pi}{2}$, $\sin t\le t, \ln(1+\sin t)\le\sin t\le t$, tenemos $g'(t)\le 0$ o $g(t)$ está disminuyendo. A continuación, para $0< t\le\frac{\pi}{2}$, $g(t)\le g(0)=0$ y, por tanto, $f'(t)\le0$ o $f(t)$ es la disminución de $0< t\le\frac{\pi}{2}$. Por lo tanto $f(t)\le f(0)=0$ para $0< t\le\frac{\pi}{2}$ y por lo tanto (1) queda demostrado. Usando la misma manera, usted puede probar la segunda parte de la desigualdad.