Definición de segundo topológico $K$-grupo de un álgebra de Banach

Question

La pregunta es acerca de la definición de la segunda topológico $K$-grupo de un álgebra de Banach $A$.

Estaba leyendo un texto de Alain Valette (Prop. 3.3.7) donde demuestra que $$ K_1(SA) \cong \pi_1(\mathrm{GL}_\infty(A),1). $$ Aquí $A$ es un álgebra de Banach y $K_1(A) = \mathrm{GL}_\infty(A) / \mathrm{GL}_\infty(A)_0 \cong \pi_0(\mathrm{GL}_\infty(A))$. Por $\mathrm{GL}_\infty(A)_0$ uno denota la componente de la ruta de $1$. La prueba es como sigue: $$ \begin{align*} \pi_1(\mathrm{GL}_\infty(A),1) & \cong \pi_0(S\mathrm{GL}_\infty(A)) \\ & \cong \pi_0(\mathrm{GL}_\infty(SA)) \\ & \cong K_1(SA) \end{align*} $$ Me preocupa lo siguiente:

1. ¿Por qué es $\pi_0(S\mathrm{GL}_\infty(A))$ un grupo ?
2. ¿Cuáles son la primera y la segunda isomorfismo ?

Nota: toda Esta cuestión nos permite definir $$ K_2^{\mathrm{top}}(A) := \pi_1(\mathrm{GL}_\infty(A),1). $$

Answer 1

Sus preguntas revelan un error tipográfico que Valette no era consciente de. La tercera línea de la prueba de la Proposición 3.3.7 debe ser:$$\pi_n(\text{GL}_\infty(A)) = \pi_{n - 1}(\Omega \text{GL}_\infty(A)) = \pi_{n - 1}(\text{GL}_\infty(SA)),$$where $\Omega X$ is the loop space of $X$. The first equality is a basic property of loop spaces, see e.g. here. The second follows by observing that a loop in the invertible group of $A$ is the same thing as an invertible element in the suspension of $A$ - hay algunas comprobaciones respecto a las unidades de álgebras, pero funciona.