Cómo determinar un valor positivo de la variable $m$, por lo que la siguiente fórmula es maximizada.
$$\frac{(1-q)^m}{\sum_{x=m/c}^{m}{\binom{m}{x} (1-q)^{m-x} q^x}}$$
donde $1<c<m$, $0<q<1$, ambos son constantes.
Respuesta
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Le $R_m$ denotar la relación considerado, $R^*=\sup_mR_m$ e $r=(1-q)/q$.
Si $r\le1$, $R_m\le1$ para cada $m\ge0$ e $R_0=1$ por lo tanto $R^*=1$. Tenga en cuenta que $R_1=r$ por lo tanto $R^*>1$ cualquier $r>1$.
Si $r>2^c$, $R_m\to+\infty$ al $m\to+\infty$ por lo tanto $R^*=+\infty$.
El uso de grandes desviaciones de las estimaciones, se puede refinar este último resultado como sigue: para cualquier $c>1$ si $r>\varrho(c)$,, a continuación, $R_m\ge k(r)^{m/c}$ donde $k(r)>1$, por lo tanto $R^*=+\infty$, con $$ \varrho(c)=c^c/(c-1)^{c-1}. $$ Del mismo modo, si $r<\varrho(c)$,, a continuación, $R_m=k(r)^{(m/c)+o(m)}$ donde $k(r)<1$, por lo tanto $R^*$ es finito.
Uno puede adivinar que, para cada $m\ge0$, $R^*=R_m$ para cualquier $r$ en $(\varrho_{m}(c),\varrho_{m+1}(c))$ donde $(\varrho_m(c))_{m\ge0}$ es un aumento de la secuencia tal que $\varrho_0(c)=0$, $\varrho_1(c)=1$ y $\varrho_m(c)\to\varrho(c)$ al $m\to+\infty$.
Editar Aquí, es un boceto de las grandes desviaciones de presupuesto. Deje $X$ e $(X_k)$ denotar yo.yo.d. Las variables aleatorias de Bernoulli con $P(X=1)=q$ e $P(X=0)=1-q$, e $S_m=X_1+\cdots+X_m$. Entonces $$ R_m=(1-p)^m/D_m,\qquad D_m=P(S_m\ge m/c). $$ Por la ley de los grandes números, $D_m\to1$ si $q>1/c$ e $D_m\to0$ si $q<1/c$. A partir de ahora, vamos a suponer que $q<1/c$. A continuación, $D_m$ es geometricaly pequeña en el sentido de que $D_m\le a(c)^{m/c}$ donde $a(c)<1$ puede ser determinado por una norma de aplicación de Cramér la desigualdad, de la siguiente manera.
Deje $u>1$. A continuación, $[S_m\ge m/c]=[u ^{S_m}\ge u^{m/c}]=[u ^{S_m-m/c}\ge 1]$ por lo tanto $$ D_m\le u^{-m/c}E(u^{S_m})=\left(u^{-1}E(u^{X})^c\right)^{m/c}. $$ Esto es válido para cada $u>1$ por lo tanto $D_m\le a(c)^{m/c}$ con $$ a(c)=\inf_{u>1}[u^{-1}E(u^{X})^c]=\inf_{u>1}[u^{-1}(qu+1-q)^c]. $$ El infimum se logra a $u(c)$ que resuelve la ecuación de $q(c-1)u=1-q$, e $u(c)>1$ por cada $1<c<1/q$, por lo tanto $$ a(c)=u(c)^{-1}(qu(c)+1-q)^c. $$ Esto demuestra que $R_m\ge k(r)^{m/c}$ con $k(r)=(1-q)^c/a(c)$. Unos sencillos cálculos de rendimiento $$ k(r)=((c-1)/c)^c(r/(c-1))=r/\varrho(c). $$ Esto demuestra que $R_m\to+\infty$ tan pronto como $k(r)>1$, es decir, tan pronto como $r>\varrho(c)$.
Segunda edición de Cada una de las $\varrho_m(c)$ es el punto donde $R_m$ reemplaza $R_{m-1}$ como máximo. En particular, en $r=\varrho_m(c)$, $R_m=R_{m-1}$. Esto es equivalente a $\varphi_m(r)=\varphi_{m-1}(r)$, donde $$ \varphi_m(r)=\sum_{x=m/c}^m{m\elegir x}r^{-x}. $$ Por ejemplo, por cada positivo $r$, $\varphi_0(r)=1$ y $\varphi_1(r)=1/r$. Uno ve que $\varphi_1(r)>\varphi_0(r)$ hasta $r=1$ donde $\varphi_1(r)=\varphi_0(r)$, por lo tanto $\varrho_1(c)=1$.
