Silverman Adv. Temas de ejemplo

Question

Me gustaría referirnos a Silverman los Temas Avanzados en la Aritmética de Curvas Elípticas ejemplo 10.6:

Deje $D$ ser un número entero distinto de cero, $E:y^2=x^3+D$ con complejo de la multiplicación por $\mathcal{O}_K$ donde $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$. Deje $\mathfrak{p}$ ser una de las primeras de $\mathcal{O}_K$ con $\mathfrak{p}\nmid 6D$. Desde $\mathcal{O}_K$ es un PID, escribir $\mathfrak{p}=(\pi)$ y uno puede comprobar que hay un único, $\pi$ generación $\mathfrak{p}$ que satisface $\pi\equiv 2 (\text{mod }3)$.

Mi pregunta ahora es esto, si nos vamos a $\mathfrak{p}=(2+\delta)$ donde $\delta=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$, entonces porque tiene norma 7, es un primo. Así, $\pi=2+\delta$ cómo obtenemos el resultado de que $\pi\equiv 2 (\text{mod }3)$? He tratado de multiplicar $\pi$ por las unidades en $\mathcal{O}_K$, pero no parecen tener nada útil. Creo que puede ser falta algo obvio aquí.

Edit: ¿es usted capaz de demostrar en general que no hay una única $\pi$ generación $\mathfrak{p}$ que satisface $\pi\equiv 2 (\text{mod }3)$?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

La respuesta corta es...no es cierto para $\pi$.

Es el ideal que posee un generador. Esto no significa que todos los generadores de satisfacer la congruencia.

De hecho, $\pi \equiv -\bar{\delta} \bmod 3$ así que usted debe encontrar que el $\pi\delta \equiv -\bar{\delta}\delta \equiv -1 \equiv 2 \bmod 3$.

Desde $\delta$ es una unidad en $\mathfrak{O}_K$ nos encontramos con que $\mathfrak{p}=(\pi) = (\pi\delta)$, por lo que usted haya encontrado la derecha del generador.

Answer 2

En general, observe que las unidades de $\mathcal{O}_K$ son $$\{1,-1,\delta,-\delta,\delta^2,-\delta^2\}=\left\{1,-1,\frac{1+\sqrt{-3}}{2},-\frac{1+\sqrt{-3}}{2},\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},\frac{1-\sqrt{-3}}{2}\right\}.$$ Por lo tanto, las unidades de $\mathcal{O}_K^\times$ modulo $3\mathcal{O}_K$ son las clases $$\{1,-1,\delta,-\delta,\delta^2,-\delta^2\}\equiv \left\{1,2,2+2\sqrt{-3},1+\sqrt{-3},1+2\sqrt{-3},2+\sqrt{-3}\right\} \bmod 3\mathcal{O}_K,$$ que forman un sistema completo de representantes de $(\mathcal{O}_K/3\mathcal{O}_K)^\times$, que tiene el tamaño de $\varphi(9)=3\cdot 2=6$. Ahora vamos a $\mathfrak{P}$ ser un ideal generado por $\pi$, de tal manera que $\mathfrak{P}$ no divide $3$. A continuación, $\pi \bmod 3\mathcal{O}_K$ es una unidad en $(\mathcal{O}_K/3\mathcal{O}_K)^\times$. Entonces, hay una unidad de $u$ en $\mathcal{O}_K^\times$ que es la inversa de $\pi$ modulo $3\mathcal{O}_K$, por lo que el $\pi\cdot u \equiv 1 \bmod 3\mathcal{O}_K$. Finalmente, $$\pi\cdot(-u)\equiv - \pi\cdot u \equiv -1\equiv 2 \bmod 3\mathcal{O}_K,$$ como deseado, debido a que $-u$ es también una unidad en $\mathcal{O}_K$.

Ejemplo: Tome $\mathfrak{P}=(2+\delta)$. A continuación, $$\pi = 2+\delta\equiv 2+(2+2\sqrt{-3})\equiv 4+2\sqrt{-3}\equiv 1+2\sqrt{-3}\equiv \delta^2 \bmod 3\mathcal{O}_K.$$ El inverso multiplicativo $u$ de % de $\delta^2$ es $-\delta$. Por lo tanto, $\pi\cdot (-\delta)\equiv 1 \bmod 3\mathcal{O}_K$. Y, por tanto,$\pi\cdot \delta\equiv 2 \bmod 3\mathcal{O}_K$. En efecto: $$(2+\delta)\cdot(\delta)=-1+3\delta.$$ Clearly $\mathfrak{P}=(-1+3\delta)$ because $\delta$ es una unidad. Por otra parte, $$(-1+3\delta)-2 = -3+3\delta=3(-1+\delta).$$ Por lo tanto $-1+3\delta\equiv 2 \bmod 3\mathcal{O}_K$.