Si un divisor principal está definido sobre K, entonces ¿es la función?

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad algebraica, $D$ un divisor principal de $X$ definido sobre $K$ es decir, los puntos de $D$ están en $X(K)$ y hay una función en $\overline{K}(X)$ cuyo divisor es $D$ . Es $D$ necesariamente el divisor de una función sobre $X$ definido sobre $K$ es decir, un elemento de $K(X)$ ?

Creo que puedo responder afirmativamente utilizando la cohomología de Galois: dos funciones cualesquiera con el mismo divisor difieren en un elemento de $\overline{K}^*$ por lo que podemos definir un cociclo de $H^1(G_K, \overline{K}^*)$ enviando un elemento del grupo de Galois al correspondiente factor multiplicativo en $f$ . Por el Teorema 90 de Hilbert, esto es de la forma $\sigma \mapsto \frac{\sigma(\lambda)}{\lambda}$ para algunos $\lambda$ Así que entonces $\lambda^{-1} f$ encaja en el proyecto de ley.

¿Es esto correcto / hay una manera más elemental de ver esto?

Answer 1

Este argumento es correcto (con $K^{sep}$ en lugar de $\overline{K}$ si $K$ no es perfecto), y el argumento con el Thm. 9 de Hilbert 90 es estándar. Si hay un argumento más elemental (no es que HT90 sea tan sofisticado) no lo conozco. (Hay muchos contextos similares que implican el "descenso del campo terrestre" en los que la HT90 se utiliza de la misma manera; una vez que se ha visto utilizarla unas cuantas veces como ésta, empieza a parecer menos fuera de lugar).