Dirac cadena en (periódico) espacio compacto

Question

Para un no-espacio compacto, de Dirac cadena puede ser definido como una línea que une el monopolo de Dirac a infinito (o de otro monopolo de Dirac). La región donde el indicador de conexión está mal definida. (como puede verse en el centro Goddard de Oliva y la revisión)

Pero, para un (periódico) en espacio reducido, ¿Cómo podría definir la cadena de Dirac en este espacio, ya que no hay "infinito"?

Answer 1

En una compacta orientable espacio en el total de la carga magnética (eléctrica o de cambio, para el caso) debe ser cero por Gauss la ley. Todas las líneas del campo magnético de salir de los monopolios deben ir a alguna parte, así que recopilamos en igual cantidad de anti-monopolios. La prueba de la declaración es simple--- se coge una pequeña esfera con ninguna carga magnética en el interior, y consideramos que es el límite de lo que puedes localmente llamada fuera de la región. La carga total en el exterior debe ser cero también. Cuando la red carga magnética es cero, la Dirac cadena puede ser elegido sistemáticamente a fin de carga magnética.

Cuando el espacio no es orientable, el argumento se aplica a su doble-cubierta, por lo que la cadena de Dirac puede ir entre los monopolios y sus complementarias de imagen. Un no-orientables el mismo espacio que debe ser cubierto por varios superposición de gráficos, y en el caso de un nonorientable espacio, usted puede hacer la Dirac cadena ser en una carta y no en otro.

Para ver que los casos de que estoy hablando, no son banales, considere la posibilidad de una botella Klein cruz, un círculo, (un periódico de caja en x,y,z de tamaño de la unidad, con la coordenada x identificados en el sentido opuesto en todo el período). La doble cubierta es el toro. A continuación, coloque una sola carga magnética en el centro de la botella de Klein. El campo magnético cambia de signo en virtud de una reflexión de una coordenada perpendicular a la materia, y mantiene su signo en virtud de una reflexión de la coordenada paralela a la dirección del campo (este extraño comportamiento se hace evidente si se considera el campo magnético como una 2-índice tensor antisimétrico). De modo que el campo magnético de un monopolo en la botella Klein cruz, un círculo es consistente--- es el mismo que el magentic campo de un monopolo y anti-monopolio en el toro de doble cubierta.

En esta situación, la Dirac cadena irá desde el monopolio de la anti-monopolio en el toro, pero en la botella Klein descripción, debe estar descrito coordinar la revisión de coordinar parche.