Condicional distribución en el movimiento Browniano

Question

Tengo que probar lo siguiente:

Deje $X$ ser un movimiento Browniano con deriva $\mu$ y la volatilidad de los $\sigma$. Elige tres puntos de tiempo $s < u < t$. A continuación, la distribución condicional de $X_u$ da $X_s = x$ e $X_t = y$ es normal; de hecho $$(X_u\mid X_s = x, X_t = y)\sim \mathcal{N}\left(\frac{t-u}{t-s}x+\frac{u-s}{t-s}y,\sigma^2\frac{(t-u)(u-s)}{t-s}\right)$$

Sé el condicional distribuciones de Gauss son también de Gauss. También tengo fórmulas para encontrar $\mathbb E(X\mid Y=y)$ e $\operatorname{Var}(X\mid Y=y)$ al $X$ e $Y$ son conjuntamente Gaussiano. Sin embargo no puedo encontrar una manera de aplicar los resultados aquí. Podría alguien ayudarme por favor?

Answer 1

Usted necesidad de aplicar este teorema acerca de cómo acondicionamiento de una Gaussiana vectores.

Usted está en la situación en que se tiene en 3-d de Gauss vector $V=(X_s,X_u,X_t)$.

Usted tendrá que calcular la media de vector y matriz de covarianza de $V$, y luego aplicando el teorema a su situación.

Saludos

Answer 2

Considere la posibilidad de este teorema en la esperanza condicional de la multivariante de la distribución Gaussiana. Deje $x=X_u$ e $Y=\left[X_s \quad X_t\right]^\top$. Deje $X_0=0$, por lo que el $\mu_X=0$ e $\mu_Y=\left[0 \quad 0\right]^\top$.

\begin{align} \Sigma_{XX}&=Cov(X_u,X_u)=\sigma^2u\\ \Sigma_{XY}&=E(XY^\top)=[E(X_uX_s)\quad E(X_uX_t)]=\sigma^2[s\quad u]\\ \Sigma_{YY}&=E(YY^\top)=\left[\begin{matrix}E(X_s^2) & E(X_sX_t) \\ E(X_tX_s) & E(X_t^2)\end{de la matriz}\right]=\sigma^2\left[\begin{matrix}s & s \\ s & t\end{de la matriz}\right] \end{align}

Conectar la fórmula, la variable aleatoria $X_u\mid (X_s=x,X_t=y)$ también es Gaussiano con

• media: $\Sigma_{XY}\Sigma_{YY}^{-1}\left[\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right]=\frac{t-u}{t-s}x+\frac{u-s}{t-s}y$
• variación:$\Sigma_{XX}+\Sigma_{XY}\Sigma_{YY}^{-1}\Sigma_{YX}=\sigma^2u+\sigma^2[s\quad u]\left[\begin{matrix}s & s \\ s & t\end{matrix}\right]^{-1}\left[\begin{matrix}s \\ u \end{matrix}\right]=\sigma^2\frac{(t-u)(u-s)}{t-s}$