Supremacía de los espacios de Banach

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio lineal con una familia de normas completas $(\| \circ \|_I)_{I \in \mathcal{I}}$ en $X$ es decir, para cada $I \in \mathcal{I}$ la tupla $(X,\|\circ\|_I)$ es un espacio de Banach. Ahora definamos $$\| x \|_\infty := \sup_{I \in \mathcal{I}} \| x \|_I \in [0,\infty]$$ por cada $x \in X$ y $X_\infty = \{ x \in X ~:~ \|x\|_\infty < \infty \}$ . Es fácil ver que $(X_\infty,\|\circ\|_\infty)$ es un espacio normado. En particular, $X_\infty$ es un espacio lineal.

Es $(X_\infty,\|\circ\|_\infty)$ un espacio de Banach, es decir, ¿es completo?

Mi opinión sería negativa, pero no se me ocurre ningún (contra)ejemplo.

Lo que he probado hasta ahora: Es fácil ver que si $X$ es de dimensión finita y $\mathcal{I}$ es finito, entonces $(X_\infty,\|\circ\|_\infty)$ está de nuevo completo. Por lo tanto, supongo que o bien tengo que encontrar muchas normas "incompatibles" en un espacio de dimensión finita, o bien sólo "unas pocas" normas en un espacio "complicado". Agradecería que me dieran pistas en cualquiera de los dos sentidos.

Answer 1

La respuesta es no.

Si $I$ es finito, entonces $X_\infty=X$ como espacios lineales, por lo que asumo $I$ es finito. Utilizando el teorema del mapa abierto se puede demostrar que si $(X_\infty,\Vert\cdot\Vert_\infty)$ es un espacio de Banach, entonces todos los espacios $(X_\infty,\Vert\cdot\Vert_i)$ son isomorfas. En efecto, para todo $i\in I$ el mapa $$ \mathrm{Id}:(X_\infty,\Vert\cdot\Vert_\infty)\to(X_\infty,\Vert\cdot\Vert_i):x\mapsto x $$ es acotada y biyectiva, por lo tanto es isomorfa. Dado que para todo $i\in I$ tenemos $(X_\infty,\Vert\cdot\Vert_\infty)\cong(X_\infty,\Vert\cdot\Vert_i)$ los espacios $(X_\infty,\Vert\cdot\Vert_i)$ para $i\in I$ son isomorfas entre sí.

Ahora, para construir un contraejemplo, basta con introducir un número finito de estructuras de espacio de Banach no isomórficas sobre el mismo espacio lineal $X$ . Construiré dos estructuras.

Dejemos que $(X,\Vert\cdot\Vert)$ sea un espacio de Banach separable no isomorfo a $\ell_2$ . Por ejemplo $X=(\ell_p,\Vert\cdot\Vert_p)$ con $p\neq 2$ . Ahora considere la norma $\Vert\cdot\Vert'$ dado en esta respuesta que convierte $X$ en un espacio de Hilbert. Por construcción $(X,\Vert\cdot\Vert)$ y $(X,\Vert\cdot\Vert')$ no son isomorfas. Así que las normas $\Vert\cdot\Vert$ y $\Vert\cdot\Vert'$ da el contraejemplo deseado.