La probabilidad de que un círculo aleatorio dentro de un círculo unitario contenga un origen de círculo unitario

Question

Un punto $(x, y)$ dentro de un círculo de la unidad se escoge uniformemente al azar. Luego un radio $r$ se escoge al azar de tal manera que un círculo $(x, y, r)$ está dentro del círculo de la unidad. ¿Cuál es la probabilidad de que el origen del círculo unitario esté dentro del círculo $(x, y, r)$ ?

Asumiré que el círculo de la unidad está centrado en el punto $(0, 0)$ .

Traté de arreglar el $y$ coordenada del punto aleatorio a $0$ y luego tratar de pensar en todo lo posible $x, r$ valores. Esto me ha llevado a las siguientes desigualdades: $$0 \leq x \leq 1$$ $$0 \leq r \leq 1 - x$$

Esto corresponde a todos los radios de tal manera que un nuevo círculo está dentro de la unidad uno. Ahora, para que un nuevo círculo contenga $(0, 0)$ $$x \leq r$$

debe aguantar.

Esto me ha llevado a calcular la probabilidad de $ \frac {1}{2}$ pero parece ser incorrecto. ¿Podría ayudarme por favor?

Answer 1

Primero tenemos que encontrar la probabilidad de $x,y$ para estar a distancia $R$ desde el centro: El CDF es $P(d<R) = R^2$ , por lo que el PDF es $\omega(R) = 2R$ .

Suponiendo que "radio escogido al azar" significa, distribución uniforme de 0 a 1-R, entonces la probabilidad de $r-R>0$ : $$ \int_0^{1/2} \int_R^{1-R}\omega(R)\omega(r)drdR=\int_0^{1/2} \int_R^{1-R}\frac{2R}{1-R}drdR=\int_0^{1/2}\frac{2R(1-2R)}{1-R}dR\\ = \frac32 - \log 4 $$