solución linealmente independiente de la EDO de segundo orden.

Question

Sea $y(t)$ sea una solución no trivial para la ecuación diferencial de segundo orden

$\ddot{x}+a(t)\dot{x}+b(t)x=0$

para determinar una solución que sea linealmente independiente de $y$ fijamos $z(t)=y(t)v(t)$ .

Demuestre que esto conduce a una ecuación diferencial de primer orden para $\dot{v}=w$

¿Qué quieren decir con linealmente independiente de $y$ ? ¿Se entiende en el sentido de que la solución no debe ser simplemente diferente por una constante de $y$ ¿como en álgebra lineal?

¿Cómo puedo demostrar que esto conduce a una solución de primer orden? No tengo ni idea de por dónde empezar.

Answer 1

Si $y(t)$ es una solución conocida ellos sustituyendo $z(t) = \lambda(t)y(t)$ en la DE tenemos

$$y\ddot\lambda + (a y+2\dot y)\dot\lambda + \ddot y+a \dot y+b y = 0$$

pero

$$\ddot y+a\dot y+b y = 0$$

entonces

$$y\ddot\lambda + (a y +2\dot y)\dot\lambda = 0$$

así que haciendo $\dot\lambda = v$ tenemos

$$y\dot v + (a y+2\dot y)v = 0$$

resolviendo ahora para $v$ después de integrar podemos obtener $z = \lambda y$ como una nueva solución independiente.

Answer 2

En primer lugar, decimos que $y$ y $z = yv$ son linealmente independientes si

$$Ay + Bz = 0 ~\forall t \iff A=B=0.$$

Fíjate:

$$Ay + Byv = y(A+Bv).$$

Si $v$ es constante para todo $t$ entonces $$A=-Bv \Rightarrow Ay + Byv = 0.$$

Por lo tanto, necesitamos que $v$ no es constante en el tiempo para que $y$ y $z$ son linealmente independientes.

---

Desde $y(t)$ es una solución de $\ddot{x}+a(t)\dot{x}+b(t)x=0$ entonces:

$$\ddot{y}+a(t)\dot{y}+b(t)y=0.$$

Consideremos $z(t) = y(t)v(t)$ . Si $z(t)$ es una solución de $\ddot{x}+a(t)\dot{x}+b(t)x=0$ entonces:

$$\ddot{z}+a(t)\dot{z}+b(t)z=0 \Rightarrow \\ \ddot{(yv)}+a(t)\dot{(yv)}+b(t)yv=0 \Rightarrow \\ \ddot{y}v+2\dot{y}\dot{v}+y\ddot{v}+a(t)(\dot{y}v + y\dot{v})+b(t)yv=0 \Rightarrow \\ v(\ddot{y}+ a(t)\dot{y} + b(t)y)+ 2\dot{y}\dot{v}+y\ddot{v}+a(t)y\dot{v}=0 \Rightarrow \\ v \cdot 0+ 2\dot{y}\dot{v}+y\ddot{v}+a(t)y\dot{v}=0 \Rightarrow \\ y\ddot{v}+ (2\dot{y}+a(t)y)\dot{v}=0.$$

Ahora, presentemos $w = \dot{v}$ . La ecuación anterior puede reescribirse como:

$$\begin{cases} \dot{v} & = & w\\ y\dot{w} & = & -(2\dot{y}+a(t)y)w \end{cases}$$

Esto significa que la función no constante $v$ satisface el sistema anterior de EDOs.

Answer 3

Las instrucciones son las siguientes: set $z=yv$ y obtener una ecuación en $\dot v$ reescrito $w$ .

Las sustituciones dan

$$\color{green}{\ddot yv}+2\dot yw+\dot w\color{green}{+a\dot yv}+ayw\color{green}{+byv}=0.$$

En $y$ es una solución, se produce una simplificación y

$$2\dot yw+\dot w+ayw=0.$$

En este último, $y$ y $\dot y$ son conocidos.