Primera clase de Chern de línea suave paquete

Question

Para holomorphic línea de paquete definimos su primera clase de Chern por exponencial de la secuencia de $$0\to \mathbb Z \to \mathcal O \to \mathcal O^* \to 0 $$ y podemos igualmente definir la clase de Chern de línea suave paquete de la secuencia exacta corta $$0\to \mathbb Z \to \mathcal C^\infty \to (\mathcal C^\infty)^*\to 0$$

Entonces existe un natural de morfismos de la primera secuencia exacta para el segundo, así que hay una natural mapa de $H^2(\mathbb Z)\to H^2(\mathbb Z)$. Es este mapa isomorfos? Del mismo modo, es el mapa de $H^1(\mathcal O^*)\to H^1((\mathcal C^\infty)^*)$ a sólo el natural mapa de equivalentes de las clases de la línea de paquetes?

De hecho, estoy casi seguro de que esto es cierto (porque se ve natural), pero no sé cómo mostrar este formalmente?

Answer 1

El mapa de $\Bbb Z \to \Bbb Z$ en su morfismos de corto exacta de las secuencias es la identidad, y así induce un isomorfismo en $H^*(X;\Bbb Z)$.

El segundo y tercer mapas de inclusión, y pensar acerca de lo que este dice en el nivel de la construcción de un vector paquete de transición de funciones: dado un representante para un elemento de $H^1(X;\mathcal O^*)$, tenemos los gráficos de $U_i \subset X$ y holomorphic mapas de $U_i \cap U_j \to \Bbb C^\times$ que pensamos como la transición de las funciones, la manera de pegamento $U_i \times \Bbb C$ a $U_j \times \Bbb C$ sobre el traslapo. El elemento correspondiente de $H^1(X;(\mathcal C^\infty)^*)$ es el mismo maps $U_i \cap U_j \to \Bbb C^\times$, pero hemos olvidado que son holomorphic (y acabo de recordar que ellos son lisas). Así, la línea de paquete construimos es el mismo suave colector (tiene los mismos gráficos y mapas de transición!), pero nos hemos olvidado de la holomorphic estructura se hereda de forma natural.

Así que la conclusión que se obtiene es que el mapa de $c_1: H^1(X;\mathcal O^*) = \text{HolLineBun} \to H^2(X;\Bbb Z)$ factores a través de $H^1(X;(\mathcal C^\infty)^*) = \text{SmLineBun}_{\Bbb C}$.

(Es decir, la primera clase de Chern es realmente un invariante de la suave línea del complejo paquetes, y a tomar la primera clase de Chern de un holomorphic línea de paquete, simplemente se olvidan de que es holomorphic!)