Subcampos de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$

Question

Supongamos que uno no conoce la teoría de Galois, pero está familiarizado con la teoría básica de las extensiones de campo. Entonces, ¿cómo se justificaría el siguiente cuadro?

Estoy bastante seguro de que sólo dicen que estos son los subcampos conocidos, y que podría haber más pero sólo escriben esos (lo que parece raro, por eso lo pregunto). ¿O han deducido que se trata de una lista exhaustiva de subcampos simplemente utilizando la teoría básica? Esto ocurre en la página 573 del libro de Dummit y Foote Álgebra abstracta .

Answer 1

$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6} : a,b,c,d\in \mathbb{Q}\}$

Tome algún elemento arbitrario y demuestre que éste tiene que estar en uno de esos campos especificados...

La cuestión es que si el elemento elegido tiene contribución de $\sqrt{2}$ o $\sqrt{3}$ o $\sqrt{6}$

Toma $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}$

• Supongamos que $b=c=d=0;a\neq 0$ entonces sólo tenemos $a$ por lo que este elemento está en $\mathbb{Q}$

• Supongamos que $a=c=d=0;b\neq 0$ entonces sólo tenemos $b\sqrt{2}$ por lo que este elemento está en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

• Supongamos que $a=b=d=0;c\neq 0$ entonces sólo tenemos $c\sqrt{3}$ por lo que este elemento está en $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$

• Supongamos que $a=b=c=0;d\neq 0$ entonces sólo tenemos $d\sqrt{6}$ por lo que este elemento está en $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$

Haciendo cálculos similares a tomar sólo dos/tres/cuatro de $a,b,c,d$ siendo distinto de cero se concluiría que no hay otro campo.