La continuidad y la diferenciabilidad de $f(x) = \frac{x}{1+x} + \frac{x}{(x+1)(2x+1)} + \frac{x}{(2x+1)(3x+1)}+...$

Question

Aquí está la función dada:

$$f(x) = \dfrac{x}{1+x} + \dfrac{x}{(x+1)(2x+1)} + \dfrac{x}{(2x+1)(3x+1)}+...$$

Mi pregunta con respecto a esta función: esta función se considera un continuo y un differenciable función? No es continuo o differenciable en determinados puntos?

De acuerdo a una pregunta acerca de esta función, $f(x)$ no es continua. Ellos no han mencionado nada acerca de ser differenciable o no.

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Mi trabajo:

Simplyfing la serie en el lado derecho de la ecuación es bastante simple-

$$f(x) = \dfrac{x}{1+x} + \dfrac{x}{(x+1)(2x+1)} + \dfrac{x}{(2x+1)(3x+1)}+...$$ $$\implies f(x) = \dfrac{1+x-1}{1+x} + \dfrac{(2x+1)-(x+1)}{(x+1)(2x+1)} + \dfrac{(3x+1)-(2x+1)}{(2x+1)(3x+1)}+...$$ $$\implies f(x) = 1 -\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+x} -\dfrac{1}{2x+1} +\dfrac{1}{2x+1}-\dfrac{1}{3x+1}...$$

$$\implies f(x) =1 $$

Desde $f(x)$ es una función constante, parece ser continua y differenciable $\forall x \in \mathbb R$. Esto es claramente incorrecto, ¿qué estoy haciendo mal?

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EDITAR:

Es allí una manera de representar gráficamente una función como $f(x)$?

Answer 1

Tenga en cuenta que todos los términos se $0$ cuando $x=0$!. Su cálculo es correcto si $x \neq 0$ e $x \neq -\frac 1 n$ cualquier $n$. La continuidad y la differentabilty están sujetos a interpretación. Una interpretación es que desde $f$ no está definida en algún intervalo abierto que contenga $0$ no es continua, por lo tanto no differntiable, en $0$.