¿Es cierto que la métrica acotada nunca puede ser inducida por la norma.

Question

Dejemos que $(X, d)$ sea un espacio métrico donde, $d$ es una métrica en $X$ .

Sabemos que el espacio métrico $X$ se llama acotada si existe algún número $r$ , de tal manera que $d(x,y) r$ para todos $x$ y $y$ en $X$ .

Quiero saber si es cierto que una métrica acotada no satisface la condición de homogeneidad de la norma. Y así podríamos concluir que la métrica acotada $d$ definida en un espacio métrico $X$ no puede ser inducido por ninguna norma.

Gracias

Answer 1

Si $\|\cdot\|$ es una norma (de un espacio vectorial real), y $\|v\|=r$ entonces para cada $n\in\Bbb N$ tenemos $\|n\cdot v-0\|=\|n\cdot v\|=n\cdot r$ .

De ello se desprende que $\|\cdot\|$ no puede ser acotado.