dy/dx cuando x e y son funciones

Question

Sea $x$ y $y$ sean funciones de valor real continuamente diferenciables definidas en $\mathbf{R}$ y supongamos que $x'(t) = f\,(x(t),y(t))$ y $y'(t) = g(x(t),y(t))$ donde $f$ y $g$ son continuamente diferenciables en $\mathbf{R}^2$ . Según el libro de ODE que estoy leyendo, si $f$ nunca es 0, entonces \[ \frac{dy}{dx} = \frac{g(x,y)}{f(x,y)} \] \[ y(x_0) = y_0 \] donde $x_0,y_0$ son constantes, es un problema de valor inicial.

Ahora bien, ¿qué $dy/dx$ ¿Quieres decir aquí? ¿Es sólo la función $y'(x)$ ? ¿O el autor está siendo descuidado y $x$ es en realidad una variable ficticia? Si lo primero es cierto, ¿cómo es que se trata de un problema de valor inicial? Normalmente, un problema de valor inicial viene dado como $y'(t) = h(y(t),t)$ , $y(t_0) = y_0$ donde $t$ es variable.

PS. ¿Por qué los libros de EDO son tan descuidados con la notación y tan poco rigurosos?

Answer 1

Si $x$ y $y$ son funciones de $t$ , $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ significa, con toda probabilidad, lo siguiente: cuando sea posible por el teorema de la función inversa, escribir $t$ en términos de $x$ Entonces $y=y(t)=y(t(x))$ es función de $x$ : diferenciar que .

Si lo piensas un poco, verás que $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ es de hecho, la relación de cambio de $y$ con respecto a los cambios en $x$ ¡como debe ser!

Answer 2

La condición de que f nunca sea 0 es importante .por la continuidad de f,f debe ser siempre positiva o negativa ,lo que significa que x(t) es monótona,por lo que tiene función inversa t(x),que también es suave.por lo que y(t)=y(t(x)).

por

Answer 3

Sólo quería comentar ( pero no tengo suficientes puntos), que , lo más probable, cuando se ve una referencia a "f nunca es 0" en problemas de este tipo; aparte de de la obvia no querer dividir por 0, esto es una referencia a la implícita / inversa que garantiza una(n) (al menos) inversa local diferenciable. A menudo se trata de jugar con la regla de la cadena hasta obtener las expresiones correctas. expresiones correctas.

Answer 4

Le pregunté a mi profesor de ODE y me dijo que $dy/dx$ es la función cuyo valor en $t$ da la pendiente de la gráfica de $(x,y)$ en el punto $(x(t), y(t))$ . Esto significa que $dy/dx$ es la función definida por \[ \frac{dy}{dx}(t) = \lim_{s \a t} \frac{y(t+s) - y(t)}{x(t+s) - x(t)} \] y por eso $(dy/dx)(t) = y'(t)/x'(t) = g(x(t),y(t))/f(x(t),y(t))$ .