No sé la respuesta en el caso de un general exterior de la medida. Pero
más razonable exterior medidas surgir como en la construcción de Caratheodory
(cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Pre-measure y https://en.wikipedia.org/wiki/Carath\%C3\%A9odory\%27s_criterion),
es decir, tenemos un (semi)anillo de $R$ de los subconjuntos de $X$ y un premeasure
$\mu_{0}:R\to\left[0,\infty\right]$ de manera tal que el exterior de medida $\mu^{\ast}$
está dada por
$$
\mu^{\ast}\left(E\right)=\inf\left\{ \sum_{n}\mu\left(A_{n}\right)\,\medio|\, A_{n}\R\text{ con }E\subconjunto\bigcup_{n}A_{n}\right\} .
$$
El teorema de Caratheodory, a continuación, establece que cada uno de los conjuntos en $R$
es $\mu^{\ast}$-medible. Por lo tanto, utilizando la definición de $\mu^{\ast}$,
no es difícil ver que para cualquier $E\subset X$ con $\mu^{\ast}\left(E\right)<\infty$,
hay un $\mu^{\ast}$medible de establecer $E^{\ast}\subset X$ con
$E\subset E^{\ast}$ e $\mu^{\ast}\left(E\right)=\mu^{\ast}\left(E^{\ast}\right)$.
De hecho, podemos tomar $E^{\ast}$ a ser una contables intersección de
contables de los sindicatos de conjuntos en $R$.
Ahora, tenemos
\begin{eqnarray*}
\mu^{\ast}\left(E\right)+\mu^{\ast}\left(F\right) & \overset{\text{assumption}}{=} & \mu^{\ast}\left(E\cup F\right)\\
& \overset{E\cup F\subset E^{\ast}\cup F^{\ast}}{\leq} & \mu^{\ast}\left(E^{\ast}\cup F^{\ast}\right)\\
& \leq & \mu^{\ast}\left(E^{\ast}\right)+\mu^{\ast}\left(F^{\ast}\right)\\
& = & \mu^{\ast}\left(E\right)+\mu^{\ast}\left(F\right).
\end{eqnarray*}
Desde el primer y el último término de coincidir (y son finitos!), debemos
la igualdad en cada paso. Por lo tanto, $\mu^{\ast}\left(E^{\ast}\right)+\mu^{\ast}\left(F^{\ast}\right)=\mu^{\ast}\left(E^{\ast}\cup F^{\ast}\right)$.
Ahora, $E'\subset E\subset E^{\ast}$ e $F'\subset F\subset F^{\ast}$,
por lo que podemos suponer $E,F$ ser medibles, para empezar. Porque
de
$$
\mu^{\ast}\left(E\ \ derecho)+\mu^{\ast}\left(F\right)=\mu^{\ast}\left(E\taza de F\right)=\mu^{\ast}\left(E\ \ derecho)+\mu^{\ast}\left(F\right)-\mu^{\ast}\left(E\cap F\right),
$$
así vemos que $\mu^{\ast}\left(E\cap F\right)=0$ (tenga en cuenta que el
anteriormente sólo se sostiene desde $E,F$ son medibles finito de medida). Por lo tanto,
cambiando $E,E'$ e $F,F'$ por null-conjuntos, se puede asumir que el $E,F$
son disjuntas.
Ahora, por definición de $\mu^{\ast}$medibles conjuntos, obtenemos
\begin{eqnarray*}
\mu^{\ast}\left(E'\cup F'\right) & = & \mu^{\ast}\left(\left[E'\cup F'\right]\cap E\right)+\mu^{\ast}\left(\left[E'\cup F'\right]\cap E^{c}\right)\\
& = & \mu^{\ast}\left(E'\right)+\mu^{\ast}\left(F'\right),
\end{eqnarray*}
donde el último paso se utiliza el disjointness de $E,F$, lo que implica
$F'\subset F\subset E^{c}$ e $E'\subset E\subset F^{c}$.
Como se señaló anteriormente, yo soy (como el OP) sigue siendo muy interesado y seguro
sobre el caso general de exterior medidas que no provienen de un
premeasure.
