¿Por qué hay tantos notaciones para la diferenciación?

Question

Hay muchas notaciones para la diferenciación. Algunos de ellos son: $$ f^\prime(x) \qquad \frac{d}{dx}(f(x))\qquad \frac{dy}{dx}\qquad \frac{df}{dx}\qquad D f(x)\qquad y^\prime\qquad D_x f(x) $$ ¿Por qué hay tantas maneras de decir "la derivada de $f(x)$"? Hay un uso específico para cada notación? ¿Cuál es la diferencia entre el $\dfrac{d}{dx}$ e $\dfrac{dy}{dx}$? Sólo estoy pidiendo esto porque estoy preocupado de que podría utilizar el malo de la notación a veces. Por ejemplo, yo no sé cuándo debo utilizar $\dfrac{dy}{dx}$ en lugar de $D_xf(x)$, o viceversa. Muchas gracias de antemano por sus respuestas.

Answer 1

Para la mayor parte de las cosas que he escrito son equivalentes, y la razón por la que hay tantos es la parte histórica, en parte práctica (por ejemplo, $D_x$ es mejor la notación cuando uno está usando el lenguaje de los operadores o de las derivadas parciales, $y'$ ahorra espacio cuando es inequívoco, etc.).

Pero hay dos realmente enorme de puntos. Primero de todo, la diferencia entre el $\frac{df}{dx}$ e $\frac{dy}{dx}$. Es muy importante no confundir estas-poner simplemente: $f$ e $y$ son letras diferentes! Se podría decir lo mismo de ciertos problemas, pero no podría-por ejemplo, $y=f(x)$ es una curva en $\mathbb{R}^2$ donde $f$ e $y$ significa sobre todo la misma cosa, $z=f(x,y)$ es una superficie en $\mathbb{R}^3$ donde $f$ e $y$ significar cosas completamente diferentes. Generalmente, $f$ denota una función de $f(x)$, e $y$ denota una coordenada, pero usted siempre debe buscar en la notación del problema específico antes de hacer suposiciones-usted debe ser capaz de manejar una pregunta acerca de la $(q,w)$-plano en lugar de la $(x,y)$ plano, sin confundirse.

El otro punto es la diferencia entre el $\frac{d}{dx}$ e $\frac{df}{dx}$. También es muy importante no confundir estos! $\frac{df}{dx}$ es el derivado de la $f$ con respecto al $x$, y es una función de $x$. $\frac{d}{dx}$ es simplemente la derivada con respecto al $x$, y no es una función a todos-come funciones y escupe sus derivados: $\frac{d}{dx} (x^3+3x) = 3x^2+3$, $\frac{d}{dx} (e^y+f(x)) = e^y \frac{dy}{dx} + f'(x)$, y así sucesivamente. Cuando escribimos $\frac{dy}{dx}$, acabamos de decir $\frac{d}{dx} (y)$. Mantener estos conceptos por separado-este es el mismo que el de comparación de $+1$ frente al $y+1$ o $\sqrt{\phantom{1}}$ frente al $\sqrt{y}$.

Answer 2

$f'(x)$ es equivalente a $\frac{d}{dx}(f(x))$. La diferencia es que en la primera no hacer explícito que se están diferenciando con respecto a $x$, mientras que en la segunda, que la distinción es clara. Aunque cuando escribimos $f'(x)$ es generalmente implícita de que la diferenciación es con respecto a $x$. $\frac{df}{dx}$ es también la misma cosa, en la notación más compacta.

$\dfrac{dy}{dx}$ e $y'$ son el mismo, pero esta vez la diferenciación de $y$. No está relacionado con el $f'(x)$ en cualquier forma, a menos que por supuesto usted tiene una relación en $y$ e $f(x)$.

Yo no he venido a través de las notaciones $Df(x)$ e $D_xf(x)$ así que no puedo comentar sobre eso.

Answer 3

Una respuesta corta es que en el cálculo de hacer un montón de manipulación simbólica, tan diferentes notaciones vale la pena molestarse para minimizar el dolor del ojo y darle cuál es la potencia que usted necesita. Por ejemplo, la fracción de la notación de ayuda si usted está haciendo las cancelaciones o en derivadas parciales.