¿Qué tipo de Hipergeométrica de la serie es esta?

Question

Estoy tratando de encontrar una forma cerrada para la serie

$$ \sum^\infty_{n=0} \frac{1}{n!} \frac{1}{n+1}(-z)^n {}_2F_2\left(m,n+1;\frac{1}{2},n+2; b z\right)$$

$m$ es un entero positivo distinto de cero, y $b$, $z$ son los números reales positivos. Puedo volver a escribir como la suma

$$ \sum^\infty_{n=0} \sum^\infty_{q=0} \frac{1}{n!} \frac{1}{p!} \frac{(m)_q}{(\frac{1}{2})_q} \frac{(1)_{p+n}}{(2)_{p+n}} (-z)^n (b, z)^p$$

alguna idea de qué tipo de multi-variable de la función hipergeométrica es la última ecuación?

Answer 1

[Demasiado largo para un comentario]. Si usted denotar $$ G(z)=\sum^\infty_{n=0} \frac{1}{n!} \frac{1}{n+1}(-z)^n {}_2F_2\left(m,n+1;\frac{1}{2},n+2; b z\right),$$ a continuación, cierta combinación de $G(z)$ e $G'(z)$ es una sencilla función única: $$\frac{d}{dz}\Bigl[zG(z)\Bigr]=e^{-z}{}_1F_1\left(m,\frac12;bz\right).$$ Por lo tanto, $$G(z)=\frac{1}{z}\int_0^ze^{-t}{}_1F_1\left(m,\frac12;bt\right)dt.$$ También, por entero $m$ la $_1F_1$ función puede ser escrito en términos de la función de error.

Answer 2

Bueno, no completamente, shure, pero se ve como uno de los Appell Funciones de la Appell Funciones.

Answer 3

Aquí es una sugerencia, no una respuesta completa.

Desde $n+q$ parece frecuente, deje $k = n+q$.

$\begin{align} \sum^\infty_{n=0} \sum^\infty_{q=0} \frac{1}{n!} \frac{1}{q!} \frac{(m)_q}{(\frac{1}{2})_q} \frac{(1)_{q+n}}{(2)_{q+n}} (-z)^n (b z)^q &=\sum^\infty_{n=0} \sum^\infty_{q=0} \frac{1}{n!} \frac{1}{q!} \frac{(m)_q}{(\frac{1}{2})_q} \frac{(1)_{q+n}}{(2)_{q+n}} z^{n+q} (-1)^n b^q\\ &=\sum^\infty_{k=0} \sum^k_{q=0} \frac{1}{(k-q)!} \frac{1}{q!} \frac{(m)_q}{(\frac{1}{2})_q} \frac{(1)_{k}}{(2)_{k}} z^{k} (-1)^{k-q} b^q\\ &=\sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k(1)_{k}}{(2)_{k}} z^{k} \sum^k_{q=0} \frac{1}{(k-q)!} \frac{1}{q!} \frac{(m)_q}{(\frac{1}{2})_q} (-1)^{q} b^q\\ \end{align} $

El siguiente paso sería hacer algo con el interior de la suma, pero voy a parar aquí, ya que yo no soy mucho de una función hipergeométrica el experto.