Pregunta sobre las medidas del producto

Question

El problema siguiente es probar terco. Humildemente pido ayuda.

Si $f$ e $g$ son funciones integrables en $\mathbb R$ e $F(x,y) = f(x)g(y)$,, a continuación, $F$ es medible, integrable en $\mathbb R\times \mathbb R$ y $$\int_ {\mathbb R\times \mathbb R}F~d(\mu\times \mu)=\int_{\mathbb R}f~d\mu \int_{\mathbb R}g~d\mu.$$

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Puedo hacer esto por las dos primeras partes de el problema?

Si dejo $A$ e $B$ ser medibles subconjuntos de $\mathbb R$. Set $f = 1_A, g=1_B$. Entonces $f = 1_{A\times B}$, $A\times B$ es medible, por lo $f$ es medible. $1_{A\times B}$ es integrable, por lo $f$ es integrable en $\mathbb R \times \mathbb R$. Además $$\int_{\mathbb R} F~d(\mu \times \mu) = (\mu\times \mu)(A\times B) = \mu(A)\cdot \mu(B) = \int_{\mathbb R} f ~d\mu \int_{\mathbb R }g~d\mu .$$

Esto es todo lo que soy capaz de hacer ahora. ¿Y la segunda parte?

Answer 1

Así es el teorema de Fubini observar (por definición) que $H(x,y)=f(x)$ e $G(x,y)=g(y)$ son medibles de modo que el producto es $F(x,y)=H(x,y)G(x,y)=f(x)g(y)$.

De otra manera $H(x,y)=f(\pi_1(x,y))$ e $G(x,y)=g(\pi_2(x,y))$. Para $\pi_i: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ tal que $\pi_i(x_1,x_2)=x_i$.