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Pregunta sobre las medidas del producto

El problema siguiente es probar terco. Humildemente pido ayuda.

Si f e g son funciones integrables en R e F(x,y)=f(x)g(y),, a continuación, F es medible, integrable en R×R y R×RF d(μ×μ)=Rf dμRg dμ.


Puedo hacer esto por las dos primeras partes de el problema?

Si dejo A e B ser medibles subconjuntos de R. Set f=1A,g=1B. Entonces f=1A×B, A×B es medible, por lo f es medible. 1A×B es integrable, por lo f es integrable en R×R. Además RF d(μ×μ)=(μ×μ)(A×B)=μ(A)μ(B)=Rf dμRg dμ.

Esto es todo lo que soy capaz de hacer ahora. ¿Y la segunda parte?

8voto

Victor Lin Puntos 3276

Así es el teorema de Fubini observar (por definición) que H(x,y)=f(x) e G(x,y)=g(y) son medibles de modo que el producto es F(x,y)=H(x,y)G(x,y)=f(x)g(y).

De otra manera H(x,y)=f(π1(x,y)) e G(x,y)=g(π2(x,y)). Para πi:R2R tal que πi(x1,x2)=xi.

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