¿Qué ideales de un anillo de decir acerca de su estructura interna?

Question

Podría la gente con conocimientos en Conmutativa Anillos elaborados en esta frase del artículo de Wikipedia (Ideales y Factor de Anillos inciso, primera frase):

La estructura interna de un anillo conmutativo se determina considerando sus ideales, es decir, no vacía de subconjuntos que está cerrado bajo la multiplicación con el anillo arbitrario de elementos y además

La frase parece implicar que saber qué son los ideales en el anillo, podemos aprender mucho acerca de su estructura. En particular, ¿qué significan los ideales en un anillo nos dicen acerca de su estructura..?

Answer 1

La declaración es demasiado vaga para determinar la intención del autor. Tal vez el autor tiene la intención de contrastar el estudio de la estructura de los anillos de uso interno de la estructura, tales como los ideales y externa de la estructura, tales como los módulos generales sobre el ring. En cuanto tal, que pueda ser de interés a la siguiente buena introducción a J. P. Lafon: Ideales y Módulos, en Hazewinkel (ed.), Manual de Álgebra, vol.1.

Answer 2

Uno tiene que ser cuidadoso acerca de lo mucho que esperar de esta afirmación. Se puede aprender mucho de los ideales, pero no todo. Un ejemplo obvio sería pensar de campos, y de cómo diversos e interesantes que son, pero su ideal estructuras son todas de forma idéntica aburrido. Esto puede ocurrir para los anillos con la debida ideales, también. Cuando hay ideales no triviales, y usted puede realizar un seguimiento de sus productos las cosas se vuelven más interesantes, pero aún así, no todo está allí.

Un mejor prueba es para estudiar no sólo los ideales, sino a toda la categoría de módulos para el anillo. Es mucho más rica y completa en cuanto a información sobre el ring. Esto es debido a que los ideales (y a la derecha y a la izquierda ideales, si queremos hablar de no conmutativa anillos) contienen información sobre el ring (y módulo) homomorphisms principio en $R$.

(Digresión: En el fin de estudiar los ideales de anillos conmutativos, de Barrio y de Dilworth extraída para el concepto de "multiplicativo celosías". Tienen un cierto nivel de la estructura de la misma.)