Peso $\mathfrak{sl}_2$-módulo con finito dimensionales de peso espacios tiene longitud finita?

Question

Esto es parte de la Proposición 3.6.2 en Mazorchuk las Conferencias en $\mathfrak{sl}_2$-módulos.

Se denota por $\overline{\mathfrak{W}}^{\xi,\tau}$ la categoría de peso $\mathfrak{sl}_2$-módulos con apoyo en $\xi\in\mathbb{C}/2\mathbb{Z}$, de tal manera que $M$ es atravesado por el peso de los vectores, que son generalizadas vectores propios de la Casimir elemento $c$, con autovalor $\tau$. Él está demostrando que si $M\in\overline{\mathfrak{W}}^{\xi,\tau}$,, a continuación, $M$ tiene longitud finita. Él toma $L\in\overline{\mathfrak{W}}^{\xi,\tau}$ a un módulo sencillo, y es conocido el cero peso espacios de $L$ son unidimensional por una clasificación teorema. Entonces él dice que la composición de la multiplicidad $[M:L]$ de % de $L$ en $M$ no puede exceder $\dim M_\lambda$ cualquier $\lambda\in\mathbb{C}$ tal que $\dim L_\lambda\neq 0$. Aquí $M_\lambda$ es el peso de espacio de $M$ peso $\lambda$, etc. ¿Por qué esta restricción verdad? Puedo entender su razonamiento después de este punto.

Answer 1

Como explico en mi respuesta a tu otra pregunta, tenemos $$\mathrm{ch}M=\sum_L[M:L]\mathrm{ch}L$$ donde $L$ ejecuta a través de todos los simples $\mathfrak{g}$-módulos. En particular, $$\dim M_\lambda=\sum_L[M:L]\dim L_\lambda.$$ Como $\dim L_\lambda\in\{0,1\}$, $$\dim M_\lambda=\sum_{L:L_\lambda\neq0}[M:L].$$ Por lo tanto, si $S$ es un simple módulo de con $S_\lambda\neq 0$, debemos tener $$\dim M_\lambda\geq [M:S]$$