Demostrar que la ecuación de $2a^4+2a^2b^2+b^4=c^2$ no un entero solución

Question

Pregunta:

Probar que: si $a,b,c\in Z$,e $a\neq 0$ demostrar que: la ecuación $$2a^4+2a^2b^2+b^4=c^2$$ no tiene solución.

Mi idea: desde $$a^4+(a^2+b^2)^2=c^2$$

y quiero que el uso de terna Pitagórica

y deje $$a^2=m^2-n^2. a^2+b^2=2mn, c=m^2+n^2,(m,n)=1$$ $$\Longrightarrow m^2-n^2+b^2=2mn$$ $$\Longrightarrow (m-n)^2+b^2=2n^2$$

tal vez mi idea es incorrecta?

tal vez el David H idea es útil?

desde $$2a^2(a^2+b^2)=(c-b^2)(c+b^2)$$

a continuación, $b$ $c$ son tanto o incluso a un extraño,y $c>b^2>b$ puede util

Pero no puedo continuar.

Answer 1

Deje $(a,b,c)$ ser una solución de $$ 2a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = c^2.$$ Mediante la evaluación de los diferentes valores de $a,b,c$ modulo $4$ (Edit: $8$), uno puede fácilmente demostrar que $a$ debe ser par. Si $b$ también sería incluso, a continuación, $(\frac a2, \frac b2, \frac c4)$ es también una solución de la ecuación. Por lo tanto, si $a\neq 0$ podemos suponer que la $b$ es impar y por lo tanto $c$.

Ahora vamos a utilizar, lo que ya escribió sobre ternas Pitagóricas. Tenga en cuenta que automáticamente $$ a^2 = 2mn\quad\text{and}\quad a^2 + b^2 = m^2-n^2$$ debido a $a$ es incluso. Podemos también deducir las ecuaciones $$ 2mn +b^2 = m^2 - n^2 \iff (m+n)^2 + b^2 = 2m^2.$$ Por lo $m$ extraño, porque $b$ es impar. La ecuación es también equivialent a $$\left(\frac{m+n-b}2\right)^2+\left(\frac{m+n+b}2\right)^2 = m^2.$$ Por lo tanto, no debe ser $x$ $y$ con $$ m= x^2+y^2,\quad n= 2y(x-y),\quad b= y^2-x^2+2xy.$$ Por lo tanto $$2mn = 4(x^2+y^2)y(x-y)$$ debe ser el cuadrado de $a^2$. Debe ser fácil para comprobar que los tres factores son pares coprime, así $$ x^2+y^2 = z^2,\quad y = w^2, \quad x-y = t^2.$$ Poniendo estas ecuaciones obtenemos $$ z^2 = (t^2 + w^2) + w^4 = 2w^4 + 2w^2t^2 + t^4.$$ Por lo tanto $(w,t,z)$ es también una solución de la ecuación anterior, sino $|w|<|a|$. Por infinitos decente, no hay ninguna solución $(a,b,c)$$a\neq 0$.

(Tenga en cuenta que hay que prestar más atención en coprimeness en un par de pasos que espero es correcta o puede ser trabajado de todo.)