Condición sobre el vector de valores de la función

Question

¿Alguien tiene alguna idea sobre cómo mostrar que los siguientes es verdadera:

Deje $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ ser abierto y acotado.

Considere el vector de valores de la función $$f: \Omega \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$$ que tiene las condiciones de crecimiento $$|f_{i}(x,y,z)| \leq \beta\big(k(x) + |s|^{p_{0}}+\sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^{p_{j}}\big)^{1-\frac{1}{p_{i}}}$$ where $\alfa > 0$, $\beta > 0$, $p_{0} > 1$ and $k \en L^{1}(\Omega)$.

Asumir $$f(x,y,z)\cdot z \geq \alpha\sum_{i=1}^{n}|z_{i}|^{p_{i}}$$ for a.e. $x \in \Omega$ and every $(y,z)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}$, where $p=(p_{1},...,p_{n})$ and $p_{i} > 1$. Does the previous condition on $f$ imply the following condition or does the following condition on $f$ imply the previous condition? $$\forall z_{0} \in \mathbb{R}^{n}: \lim\limits_{|z|\rightarrow \infty}\frac{f(x,y,z)\cdot(z-z_{0})}{|z|} = \infty ~~~ for~y~bounded. $$

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Para fijo $x$ e $y$ tienes \begin{equation*} f(x,y,z).z\geqslant \alpha \sum |z_{i}|^{p_{i}} \gg |z| \end{ecuación*} desde $|z|\sim \sum |z_{i}|$ (todas las normas son equivalentes en dimensión finita), por lo que, de hecho,$\frac{f(x,y,z).z}{|z|}\rightarrow +\infty$.

También se $f(x,y,z)z_{0}\leqslant C|z_{0}|\sum_{j}|C'+\sum_{i} |z_{i}|^{p_{i}}|^{1-\frac{1}{p_{j}}}$ por Cauchy-Schwarz y la equivalencia de las normas de nuevo. Este es neglectable cuando se compara a $f(x,y,z).z$ al$z\rightarrow \infty$, ya que para cada $j$ en la suma, $|C'+\sum_{i} |z_{i}|^{p_{i}}|^{1-\frac{1}{p_{j}}} \ll |\sum_{i} |z_{i}|^{p_{i}}|\leqslant \frac{1}{\alpha}f(x,y,z)z$

Poniendo todo junto \begin{equation*} \lim_{z\rightarrow \infty}\frac{f(x,y,z).(z-z_{0})}{|z|}=\frac{f(x,y,z).(z)}{|z|}=\infty \end{ecuación*}

Si esto no es lo que quieres tal vez debería precisar en tu post. Que hacer un montón de hipótesis relativas a $x$ e $y$ que son difíciles de entender. De hecho diciendo que el límite inferior en $f$ sólo tiene una.e $x\in \Omega$ (lo que es $\Omega$ por el camino ?) y no en todos los de $\Omega$ es suficiente para la construcción de un contra-ejemplo a la conclusión de que usted desea.