Un problema de análisis elemental

Question

Un amigo me planteó este problema pero no pude resolverlo. No es tarea.

Reales dados $x>1$ , $\epsilon>0$ ¿existe siempre $i,n \in \mathbb N$ tal que $|x^i -n |<\epsilon$ . Si la respuesta es negativa, ¿existe un subconjunto no trivial $S \subset (1,\infty)$ tal que todos $x\in S$ ¿satisfacer esto?

Answer 1

Vamos a encontrar una secuencia de intervalos anidados $(a_i,b_i)$ tal que si $x\in[a_i,b_i]$ entonces $x^i\in [n_i+\frac{1}{3},n_i+\frac 2 3]$ para algún número entero $i$ .

Entonces tendrías un contraejemplo tomando el límite.

Sea $a_1=9\frac 1 3$ y $b_1=9\frac 2 3$ .

Ahora, supongamos que tiene $(a_i,b_i)$ y $n_i$ tal que $a_i^i = n_i + \frac{1}{3}$ y $b_i^i= n_i +\frac 2 3$ .

Entonces mira el intervalo $[a_i^{i+1},b_i^{i+1}]$ . Por elegir $a_1>9$ vemos que este intervalo es al menos $9$ veces la longitud del $[a_i^i,b_i^i]$ que es la longitud $\frac{1}{3}$ por lo que, en particular, este intervalo debe contener algún intervalo entero completo, $[n_{i+1},n_{i+1}+1]$ . Ahora, elija $a_{i+1}=\sqrt[i+1]{n_{i+1}+\frac{1}3}$ y $b_{i+1}=\sqrt[i+1]{n_{i+1}+\frac 2 3}$ . Entonces $[a_{i+1},b_{i+1}]\subset [a_i,b_i]$ y, para cualquier valor $x\in [a_{i+1},b_{i+1}]$ , $x^i$ es como mínimo $\frac 1 3$ del número entero más próximo.

Ahora bien, si $x\in \cap_i [a_i,b_i]$ entonces $|x^i-n|>\frac{1}{3}$ para todos $i>0$ y todos los números enteros $n$ .

Por lo tanto, la respuesta es negativa.

Creo que es bastante fácil utilizar una variación de este argumento para demostrar que el conjunto de contraejemplos es denso en el conjunto $(1,\infty)$ .

Creo que un argumento similar puede demostrar que el conjunto de los reales que satisfacen tu condición también es denso.