Casco inyectivo de$\mathbb{Z} _p$

Question

El$p$ - componente primario del grupo$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ se denota por$\mathbb{Z}(p^{\infty})$, donde$p$ es un primo.

Ahora quiero mostrar que

$\mathbb{Z}(p^{\infty})$ es un grupo inyectivo, y el casco inyectivo de$\mathbb{Z} _p$ es$\mathbb{Z}(p^{\infty})$.

¿Alguna pista? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: recuerde que los grupos abelianos inyectivos son exactamente los grupos abelianos divisibles. Demuestre que$\Bbb Z(p^{\infty})$ es un grupo divisible; deje$n$ y$\frac{a}{p^i}$ con$(a,p)=1$, escriba$n=mp^j$ con$(m,p)=1$, hay$r<p^i$ con$mr\equiv a \pmod {p^i}$, así que si$y=\overline{\frac{r}{p^{i+j}}}$, entonces $ny=\overline{\frac{a}{p^i}}$.

Si$D$ es un grupo divisible abeliano tal que$\Bbb Z_p\subseteq D$, construya$x_1,x_2,\ldots\in D$ tal que$px_1=\overline 1$, y$px_{n+1}=x_n$, no es difícil ver que el subgrupo generó por$\bar 1$ y el$x_i's$ es isomorfo a$\Bbb Z(p^{\infty})$

Answer 2

Aquí están algunos hechos generales de álgebra:

Un módulo a través de un anillo se llama semisimple si es isomorfo a una suma directa de módulos sencillos. Es un ejercicio para comprobar que la suma de semisimple submódulos de un módulo nuevo es semisimple. Por lo tanto, cualquier módulo contiene un máximo de semisimple submódulo, llamado por su zócalo.

Si un módulo es Artinian, lo que significa que cumple con la d.c.c. en submódulos, entonces, si es distinto de cero, contiene un valor distinto de cero simple submódulo. Por lo tanto, un Artinian módulo es distinto de cero si y sólo si su zócalo es distinto de cero.

Cualquier no-cero Artinian módulo de $M$ es una extensión esenciales de su zócalo, es decir, cualquier no-cero submódulo tiene un no-cero de la intersección con el zócalo de $M$. (Prueba: Vamos a $N$ ser un no-cero submódulo de $M$. Desde $M$ es Artinian, por lo que es $N$, y por lo tanto si $N$ no es cero, su zócalo $\mathrm{soc}(N)$ es distinto de cero. Pero $\mathrm{soc}(N) = \mathrm{soc}(M) \cap N,$ y, por tanto, $N$ tiene un no-cero intersección con $\mathrm{soc}(M)$.)

Si $I$ es un no-cero inyectiva módulo que es también Artinian, a continuación, $I$ es una envolvente inyectiva de su zócalo. (Prueba: Una envolvente inyectiva de un módulo de $M$ se caracteriza hasta el isomorfismo como un inyectiva módulo que es también un elemento esencial de la extensión de $M$. Ahora $I$ es inyectiva por supuesto, y es un elemento esencial de la extensión de $\mathrm{soc}(I)$ en el párrafo anterior, ya que también se supone que es Artinian.)

---

Ahora, considere el $\mathbb Z$-módulo de $\mathbb Z(p^{\infty})$. Es fácil probar que es Artinian, y que su zócalo es cíclico de orden $p$. Por lo tanto, aplicar el resultado anterior, nos encontramos con que es una envolvente inyectiva de $\mathbb Z/p\mathbb Z$.