Morfismo plano de tipo finito.

Question

Sea$f:X \rightarrow Y$ un morfismo dominante finito de esquemas integrales localmente noetherianos. Si f es plano sobre un punto$y$, ¿es cierto que podemos encontrar una Nbhd V de Y abierta que contenga y tal que$f^{-1}(v) \rightarrow V$ sea plano?

Creo que esto debería seguir de la libertad local, pero tengo algunos problemas para demostrarlo. Cualquier ayuda sería apreciada (o sugerencias).

Answer 1

He aquí una prueba de Ben del reclamo, no sé de donde en Matsumura Ben se refiere, pero no es demasiado difícil si se toman dos bien conocidos teoremas por sentado.

A sí las cosas, primero vamos a hacer una definición. Si $f:X\to Y$ es una de morfismos, y $\mathscr{F}$ un quasicoherent gavilla en $X$, a continuación, definir el plano de locus de $f$ (con respecto al $\mathscr{F}$) para el conjunto de la $x\in X$ tal que $\mathscr{F}_x$ es un plano $\mathcal{O}_{Y,f(x)}$ módulo.

A continuación, una versión del teorema es la siguiente:

Teorema: Vamos a $f:X\to Y$ ser finito, tipo de morfismos entre Noetherian esquemas, y deje $\mathscr{F}$ ser coherentes $\mathcal{O}_X$-módulo. A continuación, el plano, el locus de $f$ está abierto.

La dureza de los hechos en que uno debe asumir (y que, sin duda, en Matsumura creo, pero es fácil de encontrar en internet) son Grothendieck Genérico de la Libertad Lema como lo has adivinado:

Lema(Genérico Libertad): Vamos a $A$ ser un Noetherian de dominio, $B$ de un número finito de tipo $A$-álgebra, y $M$ un finitely generadas $B$-módulo. Entonces, existe alguna que no sea cero $f\in A$ tal que $M_f$ es un servicio gratuito de $A_f$ módulo.

así como esta siguiendo muy técnico, pero muy útil lema acerca de la deducción planitud de planitud más de un cociente:

Lema(Bruto Técnica): Vamos a $A\to B$ ser una de morfismos de Noetherian anillos. Supongamos que $I$ es un ideal de $A$ tal que $IB$ está contenida en el Jacobson radical de $B$, y que $M$ es un finitely generadas $B$-módulo. A continuación, los siguientes son equivalentes $$\begin{aligned}& (1)\quad M\textit{ is flat over }A\\& (2)\quad M/(IB)M\textit{ is flat over }A/I\textit{ and }\text{Tor}_1^A(M,A/I)=0\end{aligned}$$

La prueba de esto, tengo que admitir, es realmente horrible. O, al menos el que yo conozco es. Dicho esto, sí se muestra algo a menudo en ciertos círculos.

Ahora, sólo necesitamos un resultado más que antes de demostrar el teorema principal, pero que es mucho más fácil que los dos anteriores resultados

Teorema: Vamos a $A$ ser un Noetherian anillo, $B$ de un número finito de tipo $A$-álgebra, $M$ un finitely generadas $B$-módulo, $\mathfrak{q}\in\text{Spec}(B)$, e $\mathfrak{p}$ la imagen de $\mathfrak{q}$ bajo $\text{Spec}(B)\to\text{Spec}(A)$. Supongamos que $M_\mathfrak{q}$ es plana por $A_\mathfrak{p}$, entonces hay algunas $g\in B-\mathfrak{q}$ tal que $(M/\mathfrak{p}M)_g$ es plana por $A/\mathfrak{p}$ e $\text{Tor}_1^A(M,A/\mathfrak{p})_g=0$.

Prueba: Desde $A/\mathfrak{p}$ es un Noetherian de dominio, y $M/\mathfrak{p}M$ un finitely generadas $B$-módulo, podemos utilizar el término Genérico Libertad para producir algún elemento $f\in A-\mathfrak{p}$ tal que $(M/\mathfrak{p}M)_f$ es un servicio gratuito de $A_f$-módulo.

Ahora, desde la $M_\mathfrak{q}$ es plana por $A$, ya que por suposición $M_\mathfrak{q}$ es plana por $A_\mathfrak{p}$ e $A\to A_\mathfrak{p}$ plano, podemos deducir

$$\text{Tor}_1^A(M,A/\mathfrak{p})_\mathfrak{q}\cong\text{Tor}_1^A(M_\mathfrak{q},A/\mathfrak{p})=0$$

Nos gustaría hacer si sabíamos $\text{Tor}_1^A(M,A/\mathfrak{p})$ fueron una finitely generadas $B$-módulo, ya que claramente podría encontrar entonces $g_1,\ldots,g_r\in B-\mathfrak{q}$ aniquilando a los generadores de $\text{Tor}_1^A(M,A/\mathfrak{p})$ y, a continuación, tome $g=fg_1\cdots g_r$. A ver que $\text{Tor}_1^A(M,A/\mathfrak{p})$ es un finitely generado nos limitamos a utilizar la secuencia exacta corta

$$0\to\mathfrak{p}\to A\to A/\mathfrak{p}\to 0$$

para obtener el largo de la secuencia exacta

$$\cdots\to\underbrace{\text{Tor}_1^A(M,A)}_{=0}\to\text{Tor}_1^A(M,A/\mathfrak{p})\to M\otimes_A\mathfrak{p}\to M\otimes_A \to M\otimes_A A/\mathfrak{p}\to 0$$

a ver que $\text{Tor}_1^A(M,A/\mathfrak{p})$ es un submódulo de la finitely generadas $B$-módulo de $M\otimes_A\mathfrak{p}$, lo que, desde el $B$ es Noetherian, implica que $\text{Tor}_1^A(M,A/\mathfrak{p})$ es finitely generado como se desee. $\blacksquare$

Con esto, tenemos el siguiente corolario:

Corolario: Vamos a tener las mismas hipótesis que en el anterior teorema. A continuación, para cada prime $\mathfrak{Q}$ de % de $B$ que contiene $\mathfrak{p}$ pero que no contenga $g$ tiene la propiedad de que $M_\mathfrak{Q}$ es plana por $A$

Prueba: Considerar el mapa de $A\to B_\mathfrak{Q}$. A continuación, aplicar el producto Bruto de los Técnicos lema del ideal, $I=\mathfrak{p}$ e las $B_\mathfrak{Q}$ módulo de $M_\mathfrak{Q}$, en conjunción con el anterior teorema. $\blacksquare$

Ahora, por fin podemos probar nuestra deseada teorema:

Prueba: Es claro que esta es una propiedad local, y así podemos muy bien suponer que estamos en una afín a la tierra, decir $X=\text{Spec}(B)$ e $Y=\text{Spec}(A)$, y que $\mathscr{F}$ es $\widetilde{M}$ para algunos finitely generadas $B$-módulo de $M$. Deje $U$ denotar la plana locus de $f$.

Nota primero que $U$ es claramente cerrado bajo la generalización. Entonces, desde nuestros espacios son Noetherian, basta para mostrar que $U$ es edificable. Pero, hay una forma de constructibility es que si $C$ es un cerrado irreducible subconjunto de $X$, entonces si $C\cap U$ es denso (es decir, no-vacío), entonces existe algún no-vacío abierto subconjunto $O\subseteq C$ tal que $C\cap U\supseteq O$.

A ver esto es, supongamos que $U\cap V(\mathfrak{p})$ no está vacía. Entonces, por definición, sabemos que $M_\mathfrak{q}$ es un plano $A_\mathfrak{p}$-módulo. Entonces, por el corolario a lo Bruto Técnica lema sabemos que $U\cap V(\mathfrak{p})$ contiene $V(\mathfrak{p})\cap D(g)$.

La conclusión de la siguiente manera. $\blacksquare$

Supongo que, en retrospectiva, es bastante molesto teorema a demostrar en general. La mayoría de los detalles técnicos.