Evaluando la integral definida de$e^{i t^2}$

Question

En el paso de Sakurai del QM libro se menciona que

$$\int_{-\infty}^\infty e^{i t^2} dt = \sqrt{i \pi}$$

Esto es consistente con 7.4.4 en Abramowitz y Stegun que las reclamaciones por $\Re a > 0, n = 0, 1, 2, ...$

$$\int_{0}^\infty t^{2n} e^{-a t^2} dt = \frac{\Gamma(n+1/2)}{2 a^{n+1/2}}$$,

sin embargo, esa restricción $\Re a > 0$ no está satisfecho en este caso (esto es la igualdad con cero no mayor de condición).

Me di cuenta de que la Sakurai integral puede escribirse también

$$\int_{-\infty}^\infty e^{i t^2} dt = \frac{1}{2}\sqrt{\pi i}(\textrm{erf}(\infty + i\infty)- \textrm{erf}(-\infty - i \infty)),$$

donde

$$\textrm{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^z e^{t^2} dt,$$

Parece plausible que la $\textrm{erf}(\infty + i\infty) = -\textrm{erf}(-\infty - i \infty)) = 1$, pero no estoy seguro de cómo mostrar este (tales límites no son evidentes a partir de cualquiera de las otras relaciones, me parece que en a&S).

¿Cómo sería una integral definida como este ser evaluados, y ¿cuál es el origen de esta $\Re a > 0$ restricción?

Answer 1

Prefiero afirmación de que $$ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{it^2}\,dt=(1+i)\sqrt{\frac{\pi}{2}}. $$ Tenga en cuenta que $$ e^{it^2}=\cos(t^2)+i\sin(t^2), $$ así que esto realmente sigue a partir de las integrales de Fresnel $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\cos(t^2)\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \quad\text{y}\quad \int_{-\infty}^{+\infty}\sin(t^2)\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{2}}. $$

Editar Desde $$ (1+i)\sqrt{\frac{\pi}{2}}=\sqrt{(\pi i)}, $$ Estoy de acuerdo con Sakurai. Pensé por primera vez que el $i$ estaba fuera de la raíz cuadrada en su pregunta.

Answer 2

Deje $f(z)=e^{iz^2}$. A continuación, $f$ es todo y por el teorema de los residuos que hemos

$$\oint_C f(z)\,dz=0 \tag 1$$

para cualquier suficientemente suave contorno cerrado $C$ en el plano complejo. Ahora, supongamos $C$ se compone de los tres segmentos; $C_1$, $C_2$, y $C_3$, donde

$(i)$ $C_1$ es el segmento de línea en el eje real de $(0,0)$ a $(R,0)$.

$(ii)$ $C_2$ es el arco de círculo con radio de $R$, centrada en el origen, de la $(R,0$ a $(R/\sqrt{2},R/\sqrt{2})$.

$(iii)$ $C_3$ es el segmento de línea que se extiende desde $(R/\sqrt{2},R/\sqrt{2}$ a $(0,0)$.

Luego, a partir de $(1)$ hemos

$$\int_0^R e^{ix^2}dx+\int_0^{\pi/4}e^{iR^2e^{i2\phi}}iRe^{i\phi}\,d\phi+\int_R^0e^{i\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}t\right)^2}\,\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)dt=0 \tag 2$$

Si dejamos $R\to \infty$, la primera integral se convierte en $1/2$ la integral de interés, la segunda integral en $(2)$ se desvanece, mientras que la tercera integral se convierte en

$$-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt=-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\frac12 \sqrt{\pi}$$

Poniendo todo junto, nos encontramos con

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_{-\infty}^\infty e^{ix^2}\,dx=(1+i)\sqrt{\frac{\pi}{2}}=\sqrt{i\pi}}$$

desde $1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4}$