Regresión logarítmica con errores individuales.

Question

Si tengo un conjunto de datos de$N$ pares ($x_i$,$y_i$) donde cada$y_i$ tiene un error individual$\sigma_{y_i}$, puedo incorporar esto a la regresión usando lo inverso de esto como pesos.

Si ahora hago una regresión logarítmica$\ln y_i = b_0 + b_1\,\ln x_i + \epsilon_i$, ¿cómo incorporo ahora los errores? ¿Los pesos simplemente son los mismos que en el caso lineal o tengo que convertirlos usando la distribución lognormal:$Var = \mathrm{e}^{2\mu+\sigma^{2}}(\mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1)$

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Es bueno recordar cuál es el propósito de la ponderación. Supongamos que tenemos de regresión lineal

\begin{align} \mathbf{y}=\mathbf{X}\mathbf{\beta}+\mathbf{\varepsilon} \end{align}

En este caso, $\sigma_{y_i}=\sigma_{\varepsilon_i}=\sigma_i$ y podemos escribir que

$$\Omega=E(\varepsilon\varepsilon')=diag(\sigma_i)$$

Ahora regresión ponderada con los pesos inversa de a $\sigma_i$ es generalizada estimación de mínimos cuadrados con $\Omega$. Generalizada de los mínimos cuadrados estimados son los mejores lineal estimaciones imparciales si la varianza de los errores es $\Omega$.

Lo que usted necesita saber la varianza de los errores, no la $y$. Si usted ajuste logarítmico de regresión y usted sabe que $y$ es el registro de lo normal, usted necesita peso con la varianza de $\log y$, que en su caso le corresponde a la varianza de $\epsilon$. Entonces tu mínimos cuadrados ponderados de las estimaciones será mejor lineales estimaciones imparciales, y se mantendrá la misma propiedad como en el caso lineal.

Answer 2

Si la varianza de$y_i$ es$\sigma_i^2,$, entonces, por el método delta , la varianza de$\log(y_i)$ es aproximadamente$\sigma_i^2 / y_i^2 .$. Entonces, si está haciendo mínimos cuadrados ponderados utilizando la varianza inversa pesos, en lugar de ponderar por$1/\sigma_i^2 ,$ necesita ponderar por$y_i^2 / \sigma_i^2 .$