Dos preguntas sobre la transformada de Fourier para $\mathcal{L}_2(\mathbb R)$ -funciones.

Question

He leído que para $f\in\mathcal{L}_2(\mathbb R)$ su transformada de Fourier no tienen por qué coincidir con la forma conocida para $\mathcal{L}_1(\mathbb R)$ -funciones, ya que esta integral podría no existir . Para $g\in\mathcal{L}_1(\mathbb R)$ la "forma familiar" de su transformada de Fourier que considero: $$\hat g(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \exp(-ist)g(s)\text{d}s,$$ para $t\in\mathbb R$ .

1. ¿Cuáles son los ejemplos de $f\in \mathcal{L}_2(\mathbb R)$ ¿para qué se ejemplifica esta idea? Es decir, para quienes no es necesario que exista la representación integral anterior; cuanto más accesible sea el ejemplo, mejor.

Para evitar esto, para $f\in \mathcal{L}_2(\mathbb R)$ podemos tomar como expresión de su transformada de Fourier $$\hat f(t)=\lim_{N\to\infty}\int_{-N}^N\exp(-ist)f(s)\text{d}s.$$ El límite aquí es con respecto al $\mathcal{L}_2(\mathbb R)$ -normas. Con respecto a esto, he leído que esta representación es a causa de la Teorema de convergencia dominante .

2. ¿Cómo es, exactamente, que se ha aplicado el Teorema de Convergencia Dominada para darnos esta forma factible de la transformada de Fourier para $f\in\mathcal{L}_2(\mathbb R)$ ? Además, ¿cómo permite evitar los problemas de convergencia de la "forma familiar" considerada en primer lugar?

Answer 1

Tomemos como ejemplo $f(t)=1/\sqrt{1+t^2}$ que es una función en $L^2(\mathbb{R})$ que no está en $L^1(\mathbb{R})$ . Por tanto, la transformada de Fourier de $f$ no es absolutamente convergente. Sin embargo, el siguiente límite sí existe como función en $L^2$ : $$ \hat{f}(s)=\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-R}^{R}\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}e^{-ist}dt \\ = \lim_{R\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{R}\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\cos(st)dt. $$ El límite anterior no sólo converge en el $L^2$ norma como $R\rightarrow\infty$ pero también converge puntualmente en todas partes excepto en $s=0$ lo que se puede ver mirando esta integral a la luz de la prueba de convergencia de las series alternas, teniendo en cuenta que $1/\sqrt{1+t^2}$ es estrictamente monótona y converge a $0$ como $t\rightarrow\infty$ . Sin embargo, la integral no converge absolutamente para cualquier $s\in\mathbb{R}$ .

La integral anterior converge puntualmente utilizando el mismo razonamiento si $1/\sqrt{1+t^2}$ se sustituye por $1/(1+t^2)^{p}$ para cualquier $p > 0$ . Sin embargo, el resultado es una transformada de Fourier que no está en $L^2(\mathbb{R})$ si $0 < p < 1/4$ porque $1/(1+t^2)^p \notin L^2(\mathbb{R})$ para tal $p$ . Así que no puede converger en $L^2$ para $0 < p < 1/4$ .

No creo que el teorema de convergencia dominada diga mucho sobre estos casos simples.