Demostrar que al menos$15$ estudiantes provienen del mismo país.

Question

$60$ de los estudiantes había sido elegido como participantes en una conferencia por medio de las telecomunicaciones. Los padres se habían percatado de que para cada $10$ de los estudiantes, hubo al menos $3$ los estudiantes que provienen de un mismo país. Demostrar que al menos $15$ de los estudiantes provienen de un mismo país.

Sólo he estudiado la combinatoria durante bastante tiempo por lo que es elemental, con sujeción a mí. Alguien podría ayudarme con este problema por favor?

Answer 1

El problema que has dado es en realidad la combinatoria, no de la teoría de números. Una posible solución es la siguiente:

Si hay, al menos, $5$ países que tienen al menos $2$ de los estudiantes, podemos simplemente tomar a estos estudiantes y obtener una contradicción. Por lo tanto, sólo cuatro países puede tener al menos $2$ a los estudiantes, y dejamos que el conjunto de países de la ser $x$. El resto de los $1$, y dejamos que el conjunto de países de la ser $y$.

Si $2|x|+|y| \ge 10$, simplemente tomamos dos estudiantes de cada país en $x$, y uno de cada uno en $y$, y obtenemos $10$ de los estudiantes que incumplan las condiciones. Por lo $2x + y \le 10$. Nota, sin embargo, que el número de estudiantes en $x$ es $60 - |y|$, y por tanto, por el principio del palomar, uno de los países en $x$ ha $\lceil \frac{60-|y|}{|x|} \rceil \ge \lceil \frac{60-(10 - 2|x|)}{|x|} \rceil = \lceil \frac{50}{|x|} + 2 \rceil$ de los estudiantes. Tenga en cuenta que $|x| \le 4$ implica inmediatamente que este es al menos $15$, y hemos terminado.

Answer 2

Supongamos por contradicción que hay no $15$ de los estudiantes de un mismo país. Entonces, si definimos un conjunto $A_i$ para el conjunto de los estudiantes procedentes de país $i$, tenemos $|A_i| \le 14$ e $\sum_{i = 1}^n|A_i| = 60$ donde $n$ es el número de países en la conferencia. Ahora, observe que podemos tener en la mayoría de $4$ países con $14$ participantes y, en este caso, podemos optar $2$ de los participantes de cada uno y elige $2$ más del resto de $4$ de los participantes, lo cual es contradictorio con el supuesto de que para cada $10$ a los estudiantes, no se $3$ desde el mismo país. Y si reducimos el número de participantes de $14$ a algo más, este será el caso (ya que todavía tenemos, al menos, $5$ países donde podemos elegir $2$ estudiantes) por lo tanto, llegamos a una contradicción.