Integral de$M^TM$ para la matriz$M=B\exp(-At)$

Question

Para matrices definidas positivas sin conmutación $A$ , $B$ , ¿hay una expresión simple para

PS

donde $$\int_{0}^{\infty} M_t^T M_t \,\mathrm d t$ ?

Basado en el caso conmutativo, espero que sea algo como $M_t:=B\exp(-At)$ pero no puedo probarlo.

Answer 1

Si tiene acceso a la composición electrónica de $A=UDU^{-1}$ , deje $C=U^{-1}B^2U$ , y su integral se calcula fácilmente para ser

PS

Answer 2

Vamos

$$\mathrm Q := \int_{0}^{\infty} \exp(-t \mathrm A^\top) \,\mathrm B^\top \mathrm B \exp(-t \mathrm A) \,\mathrm d t$$

que se conoce como la observabilidad Gramian en la teoría del control de la comunidad. A la izquierda-multiplicando por $\rm A^\top$,

$$\mathrm A^\top \mathrm Q = \int_{0}^{\infty} \mathrm A^\top \exp(-t \mathrm A^\top) \,\mathrm B^\top \mathrm B \exp(-t \mathrm A) \,\mathrm d t = - \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \left( \exp(-t \mathrm A^\top) \,\mathrm B^\top \right) \mathrm B \exp(-t \mathrm A) \,\mathrm d t$$

La integración por partes,

$$\mathrm A^\top \mathrm Q = \underbrace{\exp(-t \mathrm A^\top) \,\mathrm B^\top \mathrm B \exp(-t \mathrm A) \,\Big|_\infty^0}_{= \mathrm B^\top \mathrm B} + \underbrace{\int_{0}^{\infty} \exp(-t \mathrm A^\top) \,\mathrm B^\top \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \left( \mathrm B \exp(-t \mathrm A) \right) \,\mathrm d t}_{= - \mathrm Q \mathrm A}$$

donde el primer término es $\mathrm B^\top \mathrm B$ debido a la positiva determinación de $\rm A$ (es decir, el hecho de que $-\rm A$ es Hurwitz).

Por lo tanto, se obtienen los siguientes lineal de la ecuación de matriz

$$\rm A^\top Q + Q A = B^\top B$$

que es una ecuación de Lyapunov. Dado que las matrices de $\rm A, B$ son simétricas,

$$\rm A Q + Q A = B^2$$

que puede (o no) tienen una buena solución. Como último recurso, se puede vectorizar.