Para matrices definidas positivas sin conmutación A , B , ¿hay una expresión simple para
PS
donde $$\int_{0}^{\infty} M_t^T M_t \,\mathrm d t$ ?
Basado en el caso conmutativo, espero que sea algo como Mt:=Bexp(−At) pero no puedo probarlo.
Para matrices definidas positivas sin conmutación A , B , ¿hay una expresión simple para
PS
donde $$\int_{0}^{\infty} M_t^T M_t \,\mathrm d t$ ?
Basado en el caso conmutativo, espero que sea algo como Mt:=Bexp(−At) pero no puedo probarlo.
Vamos
Q:=∫∞0exp(−tA⊤)B⊤Bexp(−tA)dt
que se conoce como la observabilidad Gramian en la teoría del control de la comunidad. A la izquierda-multiplicando por A⊤,
A⊤Q=∫∞0A⊤exp(−tA⊤)B⊤Bexp(−tA)dt=−∫∞0ddt(exp(−tA⊤)B⊤)Bexp(−tA)dt
La integración por partes,
A⊤Q=exp(−tA⊤)B⊤Bexp(−tA)|0∞⏟=B⊤B+∫∞0exp(−tA⊤)B⊤ddt(Bexp(−tA))dt⏟=−QA
donde el primer término es B⊤B debido a la positiva determinación de A (es decir, el hecho de que −A es Hurwitz).
Por lo tanto, se obtienen los siguientes lineal de la ecuación de matriz
A⊤Q+QA=B⊤B
que es una ecuación de Lyapunov. Dado que las matrices de A,B son simétricas,
AQ+QA=B2
que puede (o no) tienen una buena solución. Como último recurso, se puede vectorizar.
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