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Integral deMTM para la matrizM=Bexp(At)

Para matrices definidas positivas sin conmutación A , B , ¿hay una expresión simple para

PS

donde $$\int_{0}^{\infty} M_t^T M_t \,\mathrm d t$ ?

Basado en el caso conmutativo, espero que sea algo como Mt:=Bexp(At) pero no puedo probarlo.

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Mindlack Puntos 1192

Si tiene acceso a la composición electrónica de A=UDU1 , deje C=U1B2U , y su integral se calcula fácilmente para ser

PS

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Vamos

Q:=0exp(tA)BBexp(tA)dt

que se conoce como la observabilidad Gramian en la teoría del control de la comunidad. A la izquierda-multiplicando por A,

AQ=0Aexp(tA)BBexp(tA)dt=0ddt(exp(tA)B)Bexp(tA)dt

La integración por partes,

AQ=exp(tA)BBexp(tA)|0=BB+0exp(tA)Bddt(Bexp(tA))dt=QA

donde el primer término es BB debido a la positiva determinación de A (es decir, el hecho de que A es Hurwitz).

Por lo tanto, se obtienen los siguientes lineal de la ecuación de matriz

AQ+QA=BB

que es una ecuación de Lyapunov. Dado que las matrices de A,B son simétricas,

AQ+QA=B2

que puede (o no) tienen una buena solución. Como último recurso, se puede vectorizar.

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