¿Existe algún tipo de clasificación de los grupos incompresibles?

Question

Es bien sabido que cualquier grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$ . Llamemos a un grupo finito $G$ incompresible si no es isomorfo a ningún subgrupo de $S_{|G|-1}$ . ¿Existe algún tipo de clasificación de incompresible ¿Grupos?

Lo que sé actualmente:

Cualquier grupo incompresible no trivial tiene centro no trivial

Si el centro de un grupo $G$ es trivial, entonces actúa fielmente por conjugación sobre $G \setminus \{e\}$ .

Si un grupo incompresible se descompone de forma no trivial en un producto directo de dos de sus subgrupos, es isomorfo a $C_2 \times C_2$

Se puede construir una acción fiel de $H \times K$ en $H \cup K$ . Se define como $(h, k)h_0 \mapsto hh_0$ y $(h, k)h_0 \mapsto kk_0$ para $h, h_0 \in H$ , $k, k_0 \in K$ .

$|H| + |K| \geq |H||K|$ si uno de los grupos es trivial, o ambos son isomorfos a $C_2$ .

$C_2 \times C_2$ es el único grupo posible y de hecho no está contenido en $S_3$ .

También conjeturo que "producto directo" en esta afirmación se puede sustituir por "producto semidirecto", pero no sé cómo demostrarlo.

Todos los cíclicos $p$ -los grupos son incompresibles

Si $p$ es primo, entonces $S_{p^n - 1}$ no tiene un elemento de orden $p^n$

$Q_8$ es incompresible

$S_7$ no contiene $Q_8$ como subgrupo

Answer 1

Estas fueron clasificadas completamente por Johnson en el artículo "Minimal Permutation Representations of Finite Groups".

Un grupo es incompresible si es isomorfo a uno de los siguientes:

• Grupo cíclico de orden de potencia primo $C_{p^n}$
• Cuaternión generalizado $2$ -grupo $\langle x,y|x^{2^n}=1,x^{2^{n-1}}=y^2,x^y=x^{-1}\rangle$
• el cuatripartito de Klein $C_2\times C_2$

La prueba es razonablemente corta, así que vale la pena buscarla.

Referencia: Johnson, D. L. "Representaciones de permutaciones mínimas de grupos finitos". Amer. J. Math. 93 (1971), 857-866. MR 316540 DOI: 10.2307/2373739 .