¿Las isometrías de los politopos convexos regulares generan todo?

Question

Deje $D$ regular convexo $d$-dimensiones polytope que es simétrica $(D=-D$) en $\mathbb R^d$ centrada en el origen. Deje $G$ ser el grupo de isometrías de $D$, que es lineal, los mapas y matrices de $T\in M_d$ tal que $T[D]=D$. ¿El lineal lapso de $G$ en $M_d$ generar todo, es decir, ${\rm span}\, G = M_d$, el espacio de todos los $d\times d$-matrices?

Es el caso de $d$-dimensiones de los cubos y octaedros, pero es cierto en general?

Answer 1

Sí, ciertamente este es el caso. La prueba tiene varios ingredientes.

1. Burnside del teorema: Supongamos que $G< GL(n, {\mathbb C})$ es un irreductible subgrupo, es decir, un subgrupo que no conserva ningún lineal subespacio en ${\mathbb C}^n$. A continuación, el lineal lapso de $G$ es el grupo entero $M_n({\mathbb C})$ de las complejas $n\times n$ matrices. (Echa un vistazo por ejemplo aquí por una simple prueba.)

Una consecuencia de esto es que si $G< GL(n, {\mathbb R})$ es absolutamente irreductible, es decir, que es irreductible como un subgrupo de $GL(n, {\mathbb C})$, entonces el lineal lapso de $G$ es el grupo entero $M_n({\mathbb R})$ real $n\times n$ matrices.

2. Supongamos que $G< GL(n, {\mathbb R})$ es una irreductible finito grupo de reflexión. A continuación, $G$ es absolutamente irreductible. Véase, por ejemplo, Lema 2.10 en

W. G. Dwyer , C. W. Wilkerson, Centros y Coxeter elementos.

3. El grupo de simetría $G$ de regular convexo polytope es una reflexión finita de grupo, consulte las referencias que se dan aquí. Uno puede mostrar más que $G$ es irreductible. (Voy a perseguir una referencia cuando tengo más tiempo.)

Cuando se pone todo esto en conjunto, se puede obtener la prueba de que el grupo de simetría de cada complejo polytope en ${\mathbb R}^n$ abarca $M_n({\mathbb R})$.