Finitely aditivo medidas en $2^\mathbb{N}$

Question

En nuestro curso de análisis, la siguiente pregunta se acercó y, hasta ahora, no se puede resolver:

Deje $a: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ ser una secuencia de números complejos. ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una función de $\mu: 2^\mathbb{N} \to \mathbb{C}$ la satisfacción de las propiedades

• $\mu(\{i\}) = a_i$
• $\mu$ es finitely aditivo, es decir,$A\cap B = \emptyset\implies \mu(A\cup B) = \mu(A)+\mu(B)$?

Resultados Parciales

Si tenemos una función definida en un subconjunto de a $2^\mathbb{N}$, claro que podemos extender a todos los conjuntos de la forma$A\cup B, A\cap B = \emptyset$$A\setminus B, B\subset A$. Esto invita a la utilización del Lema de Zorn; pero parece imposible demostrar que un máximo conjunto cerrado bajo estas operaciones deben ser $2^\mathbb{N}$. Sin embargo, este enfoque sugiere que el $\mu$ existe para todas las $(a_i)$, ya que el problema sólo depende de $2^\mathbb{N}$.

Por otro lado, si $a_i$ converge absolutamente, uno puede establecer $\mu(I) = \sum_{i\in I} a_i$ que cumple con las propiedades requeridas, pero este enfoque no generalizar a todos.

Answer 1

Dado cualquier secuencia $a_i$, se puede utilizar para definir un finitely aditivo medida en la colección de finito de subconjuntos de a $\mathbb N$. Ahora, considere el vector espacio de $V:= \mathbb C^{\oplus \mathbb N}$, es decir, la suma directa de countably muchas copias de $\mathbb C$, con las copias de $\mathbb C$ ser indexado por los elementos de a $i \in \mathbb N$. Como alternativa, este es el espacio de secuencias de $(z_i)_{i \in \mathbb N}$ $z_i =0$ para todos, pero un número finito de $i$. O, si quieres pensar un poco más analíticamente, se puede pensar de este como el espacio de $\mathbb C$funciones con valores en $\mathbb N$ con finito de apoyo, es decir, que se desvanecen en el exterior de un conjunto finito. (La función de adjunto a una secuencia es sólo $i \mapsto z_i$, por supuesto).

Nuestra elección de finitely addivite medida define una funcional en $V$, dado por $(z_i) \mapsto \sum_{i \in \mathbb N} a_i z_i.$ (Más analíticamente, esto es la integración de la finitely admite la función correspondiente a $(z_i)$ contra nuestra finitely addivite medida.)

Ahora vamos a $W$ ser el espacio vectorial de todas las $\mathbb C$funciones con valores en $V$. Ciertamente,$V \subset W$, y siempre podemos ampliar lineal funcionales de un subespacio a todo el espacio; por lo tanto podemos extender nuestro funcionales a una funcional $I: W \to \mathbb C$. (La etiqueta $I$ es el elegido para sugerir la integración.)

Ahora si $S$ es cualquier subconjunto de a $\mathbb N$, vamos a $\chi_S$ ser la característica de la función de $S$. Definir $\mu(S) = I(\chi_S)$. A continuación, $\mu$ es un finitely aditivo medida en $\mathbb N$ la satisfacción de las propiedades requeridas.

(Esta es, esencialmente, el lema de Zorn argumento sugerido en la publicación original, pero reformulada en términos de la ampliación funcionales en espacios vectoriales, lo que hace más transparente.)