¿Sigue siendo estacionaria la cartografía binaria de las series estacionarias simples?

Question

Supongamos que tengo una serie débilmente estacionaria con un soporte $\{0, 1, 2, 3\}$ . Si tuviera que mapear todos los valores de esta serie en una serie binaria con soporte $\{0,1\}$ utilizando la regla $\{0,1\}\rightarrow\{0\}$ , $\{2,3\}\rightarrow\{1\}$ ¿la serie binaria resultante seguiría siendo (débilmente) estacionaria? Intuitivamente, la respuesta parece ser afirmativa, ya que se trata sólo de un "engrosamiento" de la serie y no de una alteración de sus propiedades estadísticas, pero ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Para dar un contraejemplo, emularé un ejemplo descrito por Yves en respuesta a una consulta similar.

Consideremos esta familia de distribuciones $p$ en $\{0,1,2,3\}$ parametrizado por $p\in[0,1/4]:$

$$\left\{\eqalign{p(0) &= p \\ p(1) &= \frac{3}{4}-3p \\ p(2)&=3p \\ p(3)&=\frac{1}{4}-p.}\right.$$

Estas son todas las distribuciones con media $3/2$ y la varianza $1/2.$ (Sabíamos que a priori que tal familia debería existir porque tales distribuciones están determinadas por cuatro probabilidades pero están sujetas a sólo tres restricciones lineales, incluyendo la restricción de suma a la unidad requerida para todas las distribuciones de probabilidad).

Para $p\approx 0$ la mayor parte de la probabilidad se concentra en el valor $1,$ con algunos colocados cerca de $3$ para mantener la media y la varianza, mientras que para $p\approx 1/4$ la distribución se ha invertido y ahora se concentra en el valor $2,$ con la mayor parte del resto de la probabilidad colocada cerca del valor $0.$ Esto es evidente en la primera figura de abajo, donde $p$ crece de $0$ a $1/4$ a medida que pasa el tiempo.

Así, cualquier secuencia de parámetros $p_i$ determina una secuencia $X_i$ de variables aleatorias independientes con sus correspondientes distribuciones $p_i.$ Esta secuencia es débilmente estacionaria de segundo orden porque la media y la varianza son constantes mientras que la independencia asegura que las covarianzas son constantemente cero.

Esta figura muestra una realización de $(X_i)$ correspondiente a $p_i$ aumentando linealmente desde $0$ a $1/4.$ Las alturas se han repartido aleatoriamente para resolver los solapamientos. La curva es un suave Loess que traza una media local; como se pretende, es esencialmente plana, lo que indica estacionariedad débil de primer orden.

Según la cartografía de la pregunta ( $f(0)=f(1)=0;\ f(2)=f(3)=1$ ) la nueva distribución asigna la probabilidad $p + 3/4-3p = 3/4-2p$ a $0$ y la probabilidad restante $1/4+2p$ a $1.$ La media de esta distribución es $1/4+2p,$ por lo que los medios de la $f(X_i)$ forman una secuencia $(1/4 + 2p_i).$ Si el $p_i$ no son constantes, entonces $f(X_i)$ no es ni siquiera débilmente estacionaria de primer orden.

La misma serie, transformada por $f.$ El liso de Loess demuestra la falta de estacionariedad.

Apéndice: El Código

Esta es la R código utilizado para generar las cifras. Muestra cómo crear realizaciones de $X_t$ y $f(X_t).$

#
# Sample from the distributional family.
#
r <- function(p, n=1) {
  p <- min(1/4, max(0, p)) 
  sample(0:3, n, replace=TRUE, prob=c(p, 3/4-3*p, 3*p, 1/4-p))
}
#
# Transform the values.
#
f <- function(x) floor(x/2)
#
# Simulate a process from an array of parameters (p).
#
n <- 300
# p <- seq(0, 1/4, length.out=n)
p <- rep(0:1/4, each=floor(n/2)) # An extreme example
x <- sapply(p, r)
#
# Plot (X) and (f(X)).
#
library(ggplot2)
plot.it <- function(var="x", title="Series X") {
  ggplot(X, aes_string("t", var)) + 
    geom_smooth(method="loess") + 
    geom_jitter(aes(fill=X), shape=21, alpha=0.5, width=0, height=0.05) +
    ggtitle(title)
}
X <- data.frame(t=1:n, p=p, x=x, y=f(x), X=factor(x))
plot.it()
plot.it("y", "Series f(X)")