Sea$A, B$ y$C$ los ángulos de un triángulo agudo. Muestra esa: $\sin A+\sin B +\sin C > 2$.

Question

Sea $A, B$ y $C$ los ángulos de un triángulo agudo. Demuestre que: $\sin A+\sin B +\sin C > 2$ .
Comencé de considerar
$$ \begin{align}\sin A+\sin B+\sin (180^o-A-B) &= \sin A+\sin B+\sin(A+B) \\&=\sin A+\sin B+\sin A\cos B + \cos A\sin B \\&=\sin A(1+\cos B)+\sin B(1+\cos A).\end {align} $$ ¿Cómo proceder?

Answer 1

Tenga en cuenta que dado que $\sin(x)$ es cóncavo y $\left ( \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}, 0 \right ) \succ (A, B, C)$ , entonces por la desigualdad de Karamata

PS

Answer 2

Vamos a maximizar la función continua $f(A,B)=\sin A + \sin B + \sin(A+B)$ sujeto a las restricciones $0\le A\le{\pi\over2}$, $0\le B\le{\pi\over2}$, e ${\pi\over2}\le A+B\le\pi$, es decir, en la región triangular con vértices $({\pi\over2},{\pi\over2})$, $(0,{\pi\over2})$, e $({\pi\over2},0)$. Esta región es el cierre de la región en la $AB$-plano de puntos de $(A,B)$ que contiene los posibles ángulos $A$ e $B$ de un no-degenerada triángulo acutángulo $\triangle ABC$.

Si ponemos las derivadas parciales a cero, obtenemos $\cos A+\cos(A+B)=\cos B+\cos(A+B)=0$, de donde $\cos A=\cos B$ , y de ahí, $\cos (2A)=-\cos(A)$. Esto fácilmente se obtiene un único máximo local $f({\pi\over3},{\pi\over3})$ y sin los mínimos locales en el interior del dominio.

El dominio de $f$ es cerrado, por lo $f$ alcanza un mínimo, y porque no hay un mínimo local en el interior del dominio, $f$ alcanza su mínimo en un punto límite. En cada punto límite, uno de los ángulos es $\pi\over2$, por lo que el valor mínimo de $f$ es f($x_m$,${\pi\over2}-x_m)$ para algunos $x_m$ con $0\le x_m\le{\pi\over2}$. La sustitución de $x_m$ con ${\pi\over2}-x_m$ deja el conjunto de ángulos sin cambios, por lo que sin pérdida de generalidad, supongamos que $x_m<{\pi\over2}-x_m$.

Debido a $\sin$ es cóncava hacia abajo en el intervalo de $[0,{\pi\over2}]$, $\sin({x_m-\epsilon})+\sin({{\pi\over2}-x_m-\epsilon}) < \sin(x_m)+\sin({{\pi\over2}+x_m})$ cualquier $0<\epsilon\le x_m$. Debido a $f$ fue minimizado con $x_m$, no $\epsilon$ puede existir para que $x_m-\epsilon\ge0$, y por lo tanto $x_m=0$. Esto significa que $f(0,{\pi\over2})=\sin0+\sin{\pi\over2}+\sin0=2$ es el mínimo valor de $f$ en su dominio. Este dominio es un subconjunto del dominio de los puntos que corresponden a los no-degenerada aguda triángulos, por lo que el dominio también es minimizado por el valor de 2.

Answer 3

También, podemos hacer la siguiente.

Deje $b^2+c^2-a^2=x$, $a^2+c^2-b^2=y$ e $a^2+b^2-c^2=z$.

Por lo tanto, $x$, $y$ e $z$ son positivos, $a=\sqrt{\frac{y+z}{2}},$ $b=\sqrt{\frac{x+z}{2}},$ $c=\sqrt{\frac{x+y}{2}}$ y en la notación estándar $$\sum_{cyc}\sin\alpha=\sum_{cyc}\frac{2S}{bc}=\sum_{cyc}\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}}{bc}=\sum_{cyc}\frac{\sqrt{xy+xz+yz}}{\sqrt{(x+z)(x+y)}}=$$ $$=\sqrt{\frac{(xy+xz+yz)\left(\sum\limits_{cyc}\sqrt{x+y}\right)^2}{\prod\limits_{cyc}(x+y)}}=\sqrt{\frac{(xy+xz+yz)\left(2(x+y+z)+2\sum\limits_{cyc}\sqrt{(x+y)(x+z)}\right)}{\prod\limits_{cyc}(x+y)}}>$$ $$>\sqrt{\frac{(xy+xz+yz)\left(2(x+y+z)+2(x+y+z)\right)}{\prod\limits_{cyc}(x+y)}}=2\sqrt{\frac{(xy+xz+yz)(x+y+z)}{(x+y)(x+z)(y+z)}}>2.$$