Si y , Entonces

Question

Deje $G$ ser un grupo. Deje $x,y,z\in G$ ser de tres elementos. Quiero demostrar que si $[x,y] = y, [y,z] = z, [z,x] = x$ (cuando $[a,b] = aba^{-1}b^{-1}$ es el colector), a continuación, $x=y=z = e$

Parece simple, pero yo no pude probarlo.

Pensé acerca de la multiplicación de los conmutadores o colocando como $[x,y] = [[z,x],y]$ pero no parecen funcionar.

Ayuda sería apreciada.

Answer 1

Pista: tenemos eso

PS

Ahora multiplica por cosas y mira lo que puedes conseguir para cancelar. ¿Cuál es el resultado final?

Answer 2

Sugerencia: tenemos, en cualquier grupo $$(xy)^2 = x^2y^2[y,x][[y,x],y].$ $ creo que esto funciona.