¿Por qué es útil el mapa de Gauss?

Question

Actualmente estoy estudiando la geometría diferencial, y más específicamente el mapa de Gauss. Estoy usando la (in)famoso Do Carmo la Geometría Diferencial de Superficies y libro. Estoy teniendo un tiempo difícil en entender el uso del mapa de Gauss. Entiendo lo que se está haciendo, pero no por qué. No comprendo por qué este mapa tiene propiedades útiles (como la segunda forma fundamental puede ser derivada a partir de ella). Para darle un "insight" para mi, esta es la forma en que veo el mapa (corríjanme si estoy equivocado)

Mi punto de vista, el Gauss (el mapa no es una definición formal)

El mapa de Gauss asigna el vector normal en cada punto de una curva a la unidad de la esfera. Por lo tanto, proporciona un mapeo de cada punto de la curva a la unidad de la esfera.

Así que, ¿por qué necesitamos este mapa? ¿Por qué es útil y por qué tenemos este mapa para calcular las propiedades importantes tales como la segunda forma fundamental? Para mí, cada curva acaba de ser puesto en un círculo unitario. Si necesito aclarar mis ideas, por favor dime!

Answer 1

Primero, algunos resultados:

La segunda forma fundamental es a veces definido utilizando el mapa de Gauss, por lo que es una razón obvia que es útil. Se utiliza junto con la primera forma fundamental para calcular cosas como la curvatura de Gauss. En particular, existe el siguiente teorema:

Teorema: La curvatura gaussiana $K$ de una superficie orientada $M\subset\mathbb{R}^3$ es el jacobiano de su mapa de Gauss.

Esto también permite calcular la curvatura gaussiana total de una superficie orientada en términos de su imagen bajo el mapa de Gauss. Así pues, el mapa de Gauss está intrínsecamente ligado al cálculo de un invariante extremadamente importante. Tal vez te interese el libro de Barrett O'Neil sobre geometría diferencial elemental, especialmente las páginas 307-309. En esta sección, demuestra el resultado anterior y proporciona una bonita visualización.

Estos son algunos resultados, así que ahora pensemos en la intuición (por qué está relacionada con estos resultados). El pushforward del mapa de Gauss es el negativo del operador de forma, que proporciona una descripción matemática de la forma de una superficie. Por si no lo has visto antes, el operador de forma es el mapa autoadjunto $S_p:T_p(M)\rightarrow T_p(M)$ para un determinado $p\in M$ definido de la siguiente manera: si $p\in M$ entonces para cualquier $v\in T_p(M),$ $$S_p(v)=-\nabla_v U,$$ donde $U$ es el campo vectorial normal unitario en una vecindad de $p$ en $M$ y $\nabla$ es la derivada covariante. Esto describe la forma de la superficie en el sentido de que estamos midiendo cómo cambia la normal unitaria en el $v$ dirección, que describe cómo varían los planos tangentes en el $v$ dirección, describiendo así la curvatura de la superficie en $\mathbb{R}^3$ localmente. Esto podría hacer más creíble la conexión del mapa de Gauss con la curvatura.